Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Для определенности рассмотрим коэффициенты приведения из (55.4), а именно (*Цт*к'т' | k"m"). Эти коэффициенты возникают при разложении обычного прямого произведения двух различных неприводимых представлений пространственной группы. Рассмотрим пространство (53.5). Типичная функция пространства (53.5) имеет вид
^а)<-).фК)(-'), а== 1, . s, г-1,...,s',
а== 1......lm, р= 1, ..., 1т, (56.1)
Волновой вектор, определяющий закон преобразования произведения (56.1), равен
ка + *;==*" (56,2)
где вектор к"—один из лучей звезды *к". Ясно, что в пространстве прямого произведения (53.5) возникают произведения функций с результирующими волновыми векторами, соответствующими всем (s-s') различным способам сложения каждого волнового вектора звезды *k со всеми волновыми векторами звезды
Вследствие того что представления D^*k® **')(m ® m>) и соответствующие пространства (53.5) разлагаются на сумму неприводимых представлений и пространств, эти (s-s') ‘ результирующих векторов должны выражаться в виде суммы полных звезд. Каждое возникающее представление характеризуется
Коэффициенты приведения. Метод полной группы
143
одной полной звездой. Чтобы определить полный набор звезд *k", появляющихся при образовании всех возможных комбинаций типа (56.2), введем обозначение для прямого произведения самих звезд:
*k ® *k' = ? 0 (****' I **") *k". (56.3)
*k"
Коэффициенты (*ft*ft'|*ft") являются коэффициентами приведения для волнового вектора; они равны целым числам. С помощью этих коэффициентов утверждение о том, что (s-s') векторов выражаются через сумму по полным звездам, можно записать в виде
s . s' = ? (****' I **") s" (56.4)
Соотношение (56.4) можно также понимать как условие сохранения размерности, так как суммирование выполняется по всем звездам *к". Поскольку сложение волновых векторов коммутативно, имеем
*k ® *k' = *k' ® *к (56.5)
и
(*k*k' | *k") = (*k'*k | *k"). (56.6)
Коэффициенты (*k*k'\*k") при lm — lm' — 1 определяют полную размерность всех неприводимых представлений со звездами *k" пространственной группы, входящих в разложение прямого произведения неприводимых представлений со звездами *k и *k' (независимо от m и т').
-'Часто коэффициенты приведения для волнового вектора можно получить прямой проверкой. Это, в частности, удобно для звезд высокой симметрии. В остальных случаях оказывается полезным систематическое перечисление членов в (56.2). Таким образом, можно составить прямоугольную таблицу, строки которой соответствуют лучам звезды *к, а столбцы — лучам *k'. Выпишем лучи звезды вектора k:
*k = (k, ф2?, ..., (fsk) (56.7)
и звезды вектора к':
**' = (*', ф'*'......ф'Ж). (56.8)
Поместим на пересечении а-й строки и т-го столбца таблицы элемент (волновой вектор)
Фа • (* + ф'Аг') = Фа • * + фоф' • к'. (56.9)
Это волновой вектор звезды *(Аг -)г ф'Аг'). Осуществляя такое построение, мы получим таблицу, в каждой строке которой
144
Глава 6
присутствует одинаковое слагаемое (например, фа-/г); это не имеет места для столбцов. Однако каждый столбец таблицы содержит волновой вектор одной и той же звезды. В случае, который иллюстрируется в (56.9), все волновые векторы т-го столбца входят в звезду *{к -f ф' • В отдельных случаях может оказаться, что данная звезда *k содержит больше чем (s) лучей, т. е. s" > s. Но тогда, чтобы свести все лучи к звезде *k", следует просто сложить несколько столбцов. Наоборот, если s" < s, то одна и та же звезда может входить в данный столбец несколько раз. И этот случай не вызывает затруднений. В любом случае, после того как таблица составлена, легко догадаться, какие столбцы следует сложить.
Можно отметить, что, определяя коэффициенты приведения {*k *k'l *k" ) для волнового вектора, мы фактически выполняем разложение тех диагональных матриц представления прямого произведения, которые соответствуют элементам группы ?. Матрицы (53.9) уже являются диагональными, и наше построение сводится к такой перегруппировке диагональных элементов, чтобы все векторы, входящие в одну звезду, оказались собранными вместе.
При lm > 1 и 1т' > 1 достаточно лишь небольшого изменения рассуждений. Рассматривая снова векторное пространство
(53.5), видим, что 1т > 1 и (или) 1т> > 1 означает только, что элементы данной звезды *k (или *k') входят в левую часть равенства (56.2) 1т раз. В этом случае кратность легко учесть. Имеем
(lm*k) ® (lm.*W) = Z © (Ш (*k*k' I *k") *k" (56.10)
*k"
или, используя размерности представлений,
(ImS) • (Im'S') = Z Ш i*k*k' | k") S". (56.11)
Возможно, полезно заметить также, что случай совпадающих звезд *k и *k' не вносит ничего нового. В этом случае мы должны рассматривать обычное прямое произведение представления само на себя. Соответствующие коэффициенты приведения для волнового вектора можно получить аналогично (56.10):
(lm*k) (lm*k) = Z е t ( ГЛ]21 *Ь") *k" (56.12)
*А"
или, иначе, можно записать
(lm*k)®(lmk) = [lm*k]2. (56.13)
Тогда, как видно из (56.12), мы получаем одинаковые коэффициенты, которые теперь можно обозначить через ([lm *k]2\*kf').
Коэффициенты приведения. Метод полной группы
