Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Sp <т>](2) = <т)]. (54.15)
[х<**) <т) ({ф | t (ф)})](2) = | {(х(**) (т) ({ф | t (ф)})2 +
х(**) ({ф J # (ф)}2)>. (54.16)
В (54.16) элемент, входящий в аргумент второго слагаемого, представляет собой просто квадрат элемента {q)|ftp}.
Аналогичным способом можно получить *) симметризован» ную третью степень представления (m), заданного в векторном пространстве 2<т). Можно образовать симметризо-ванную третью степень векторного пространства '
[?(** ® ** ® **) (m ® m ® т)](3), (54.17)
составленного из всех независимых произведений трех множителей, каждый из которых представляет собой блоховский вектор из одного и того же пространства (m). Функции, входящие в векторное пространство (54.17), имеют вид
(rn) . ^*о) (т)ф(*т) (т)' (54.18)
р, а, т=1.......s, p<a<t.
Имеется j (s ¦ IJ (s-tm+ 1) f 2) функций вида (54.18).
Векторное пространство (54.17) из блоховских векторов (54.18) является базисом представления
[/><**> (*>](3), (54.19)
‘) См. ниже в § 117.
140
Глава 6
которое называется симметризованной третьей степенью представления. И в этом случае можно показать, что
Sp [Я<*‘) <m)](3) = [x(*A)(m)](3b (54.20)
где
[%(**){т) ({ф 11 (ф)})]<з) = -J (т) ({ф 11 (<p)}))d +
+ lm) ({ф 11 (<р)}) • (т) ({ф I < (ф)}2 + 2Х(*а) <т) ({ф 11 (ф)}3)}.
(54.21)
Можно также получить формулы для более высоких симметри-зованных степеней представлений, подобные выражениям (54.16) и (54.21).
В § 117 приведен вывод для характеров симметрированных степеней представления, специально приспособленный' к задаче
о колебаниях решетки. Антисимметризованные степени представлений, рассматриваемые в стандартных учебниках, в нашем рассмотрении не потребуются [2, 48, 49].
§ 55. Определение коэффициентов приведения
Согласно теореме Машке [50], любое представление конечной группы, заданное над полем комплексных чисел, либо неприводимо, либо разлагается в прямую сумму неприводимых представлений. Это утверждение можно применить к представлениям произведений, рассмотренным в § 53 и 54. Нам требуется разложить представление ® **')(т ® т>) прямого произведения на неприводимые составляющие. Определим коэффициенты полного приведения (*km*k'm' \ *k"m") из основного уравнения, аналогичного (17.4):
D{*b ® **') (m ® т') ? @{*Ы*к'т' 1 *k"m") ?)(**") (т">. (55.1)
k"m"
Суммирование в (55.1) ведется по всем звездам *k" и по всем допустимым неприводимым представлениям т", которые могут возникнуть для данного k". Коэффициенты
С*km*k'm' | *k"m") (55.2)
являются целыми числами, которые обозначают, какие неприводимые представления D(**") ('п") и сколько раз встречаются в разложении.
Можно дать другое определение коэффициентов приведения, используя аналогично (17.7) систему характеров %(**)<ш). Тогда
(55.1) запишется в виде
%(*к ® **') (т ® т') == ? ? (*km*k'm' | *k"m") х{*к"] <m"> (55.3)
* к"т"
Коэффициенты приведения. Метод полной группы
141
или, применяя правило получения характера прямого произведения,
%(*к) <т)х(**0 (т') = ? ? (+km*k'm' | *k"m") (т">. (55.4)
**" т"
В соотношениях (55.1), (55.3) и (55.4) подразумевается, что они выписаны для отдельного элемента P{<p|f(<p)} группы (или, как в (55.3), (55.4), для отдельного класса), поэтому для краткости в них опущены аргументы.
Чтобы определить коэффициенты приведения характеров, можно обычным образом, подобно (17.8), (17.9), использовать соотношение ортогональности и нормировки (49.5). В таком случае для определения этих коэффициентов имеем коэффициенты разложения характеров, которые можно определить по формуле
С*ktn*k'm'! *k”m") =
= TJF Л x(*ft) {m) №'t ¦ %{*к ) (m0 ^x
p {fit <ф»
Хх(**'')(т''>({ф1*(«р)}Г. (55.5)
В (55.5) суммирование ведется по всем элементам группы ®. Несмотря на очевидную сложность выполнения суммирования по всем элементам группы, аналогичного суммированию в (55.5), оказывается, что, используя (55.5), действительно можно вычислить коэффициенты приведения. Мы обсудим этот вопрос в нескольких следующих параграфах.
Аналогично определению обычных коэффициентов приведения (*km*k'm'\ k"tn"), позволяющих разложить произведение двух произвольных неприводимых представлений пространственных групп, можно определить коэффициенты приведения для обычных и симметризованных степеней неприводимых представлений.
Так,
[х(**) <«)] = ? ? ([*km]p | *k"m) (m">. (55.6)
*k« rn"
Это выражение определяет коэффициенты приведения ([*Arт]р | | *k"m") для обычной степени представления (m). Ясно, что
этот коэффициент можно вычислить по формуле типа (55.5):
([*km)p | *k"m") =
= ~ I [х(*^> (-) ({ф [ / (Ф)»]р - ({ф U (Ф)}Г- (55.7)
Р {Ф I t (Ч>)}
142
Глава 6
В (55.6) и (55.7) р может быть любым целым числом. Подобным образом коэффициенты приведения для симметризованных степеней представления имеют вид
Ы*к) W]<P) == Е Z (1 2С(**') (m"> (55.8)
**" т"
И
= Z [х(*А)(т)({ф1#(ч))})]Р^")(т,,)({ф1#(ф)}Г. (55.9)
§ 56. Правила отбора для волновых векторов
а. Коэффициенты приведения для звезды в случае простого произведения представлений. Чтобы получить полный набор коэффициентов приведения дальнейшее рассмотрение проведем в два этапа. В (55.4), (55.7) и (55.9) мы суммируем по всем звездам. Но фактически суммирование ведется по ограниченному числу звезд *к".
