Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
?)(** ® **') (т ® т') ({е | _
nmm'eXP*(ftl + ftDJ?I ••• 0 ... 0
0 ••• Птт'еХРг‘(*1+^)*1 0
0 ... ... Птт,ехр i{kx-\-k's,)RL
(53.9)
где Птт.' — единичная матрица размером (Imlm’ X Imlm.’)- Величины ka + ft', возникающие в диагональных элементах матрицы (53.9), очевидно, включают в себя все возможные члены, содержащие по одному волновому вектору из каждой звезды *ft и *ft'.
Для произвольного элемента пространственной группы матрица прямого произведения не имеет столь простого вида, как
(53.9), однако в случае необходимости она может быть получена из (33.11). В принципе соотношение (58.3) описывает характеры настолько полно, насколько это может потребоваться для выполнения приведения произведений.
§ 54. Симметризованные степени представлений [/)(**) (т)](р)
а. Обычные степени представлений. Степени представления />(**)(т) можно определить точно таким же способом, какой использовался в § 53 при рассмотрении прямого произведения [19, 20]. Мы рассмотрим некоторые из этих степеней подробно,
Коэффициенты приведения. Метод полной группы 137
так как они нам понадобятся в последующем рассмотрении. Этот вопрос будет обсуждаться еще раз в § 117.
Рассмотрим сначала квадрат представления ?)(**)(т). Согласно (53.1), неприводимое пространство 2^**)(т) образовано (s • /т) блоховскими функциями ¦ф(*о)<т>) где <г=1 а=1, lm. Рассмотрим второе линейно независимое векторное пространство ]?'(**) <т>, образованное (s • lm) блоховскими функциями
2,(*‘)(») = {ф1,<*)<т)....^)<т>}> (54Л)
также являющееся базисом для того же неприводимого представления Z)( (т> группы ©. Необходимо подчеркнуть, что
(s • lm) функций (т), а также (s • lm) функций (т) ли-
нейно независимы, хотя оба набора образуют пространства
(53.1) и (54.1), задающие одно и то же представление ?)(**)<"»). Рассмотрим теперь (s • lm)2 функций, полученных при составлении всех возможных произведений одной из функций пространства (т) на одну из функций пространства ]?'(**) <т>:
ф(*) («у (*) «....ф(*) (т)ф/ (A) (т)> _ ф) (*,) М (g^g)
1 lm m lm
Очевидно, что этот случай ничем не отличается от случая любого другого прямого произведения двух представлений. Так как, однако, представление, по которому преобразуется пространство произведений (54.2), представляет собой произведение D(т) само на себя, то это представление называется квадратом представления (m). Оно имеет размерность
(s- lm)2 и обозначается
?)(**) <m) ® ?)(**) (т) = [/}(**) (т)]2> (54.3)
Отметим, что в (54.3) индекс, указывающий степень, записан не в скобках, так как это обычный, а не симметризованный квадрат представления.
Очевидно, эту процедуру можно продолжить. Можно составить (s-lm)3 функций, выбирая каждый из трех сомножителей среди (s-lm) элементов в одном из трех линейно независимых векторных пространств, 2(**)(я>)> ?'(**) (m)j 2"(**)<m), образованных соответственно функциями
^*o)(m) ffs=lf..ttS; a==lj_>/m. (54.4)
^(*a)(m) CT=l, ...,s; a=llm; (54.5)
4>e(*°)(m) a= 1....lm. (54.6)
138
Глава 6
Каждое из этих пространств в отдельности образует базис для одного и того же неприводимого представления?)( *)(т) Тогда набор из (s-/m)3 функций
(т)ф'(*s) (т)ф" (As) (т)| (54.7)
I 1 1 1 т т 1т )
представляет собой базис для обычного куба представления ?>(**) (т)' обозначаемого
?)(**) <т) 0 ?)(**) (т) (g, D(*k) (т) _ [/)(**) <т)]3. (54,3)
Символом
[/)(**) (т)]р (54.9)
обозначается р-я степень представления /)(**) <т>. Ясно также, что система характеров р-й степени представления легко выражается через систему характеров представления ?)(**) <т>. Из
(54.9) для произвольного элемента группы @ имеем
- Sp[D(**)("»]p = [x(*^'m']p = (x(*4)(m))P- (54.10).
б. Симметризованные степени представлений. Обратимся теперь к представлению, в принципе отличающемуся от рассмотренных выше обычных степеней представлений, а именно к симметризованной степени представления D{**) (m)_ Рассмотрим снова пространство из (53.1). Рассмотрим далее
набор независимых произведений функций, составленных из всех возможных пар базисных функций этого же набора (53.1). Иначе говоря, образуем пространство вида
^(А) (m)^ ^(*) (m)^|t)(m)) ^ ф(*) (m)^(*) (т)>
^ Ак) (т) (*) м _ < > ф(*) (т) ф(*) (т) > > ^Г*,) (т)| _
11 1 1т тп т. )
e[S(**®**)<m®m)](2); (54.11)
Произвольная функция этого пространства имеет вид
(тЧ*т) <т). Р>®> (54.12)
Ограничения р ^ а и т ^ а исключают возможность двухкратного учета одного и того же произведения. В пространстве
(54.11) имеется (s • lm) (s • lm + 1) независимых функций. Пространство (54.12) можно назвать пространством, образованным симметризованным 'произведением пространства сайо
на себя. Представление группы ©, заданное этим пространством,
Коэффициенты приведения. Метод полной группы
139
получаем в виде
= [D(**) I / (Ф)})](а) ® **) ® т)](2)> (54Лз)
Представление
[д(**) (m>](2) (54.14)
называется симметризованным квадратом представления ?>(**) (т). обратим внимание на общепринятое обозначение с индексом в скобках, используемое для этой величины, и его отличие от (54.3). Характеры для этого представления можно выразить через исходный набор характеров <т) по правилу
