Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
a) pZ)(/) не эквивалентно PZ)U), (50.36)
б) эквивалентно BDU), pZ)(/). (50.37)
Заметим, что сопряженные с PZ)(/) представления при этом равны [см. (50.8)]
(50.38)
ф!) (JVp) 3DW (xNqX~1). (50.39)
В случае «а» система характеров индуцированных представлений =
°Х(у) (АУ = (Лу + Чи) (^р) + h(i) (Л/р), (50.40)
а%и) (xN? = 0
является неприводимой, т. е. соответствует неприводимому представлению “D^ группы 31а. В случае «б» индуцированное представление разлагается в сумму трех неприводимых представле-
Неприводимые представления пространственных групп 131
ний одинаковой размерности lj, равной размерности характера Система характеров для неприводимого представления может быть получена затем с помощью тех же рассуждений, которые привели к соотношению (50.34): матрицы aD! (х)
и-aD< (х~1) входят в центр группы матриц “?)</), поэтому, согласно лемме Шура, эти матрицы равны константам. Так как элемент х3 входит в группу SRp, то его характер P%W)(x3) известен из приведения группы 91р. Следуя выводу, аналогичному выводу соотношений (50.27) — (50.34), получаем полную систему характеров для неприводимых составляющих в виде
аХи) (х~%) = ехр (2.1ф/3) [РХ(У) (х-Щ]'/г hu) (JVp) (50.43)
Ясно, что метод Зака для индуцирования с помощью подгрупп индекса 2 или 3 существенным образом использует принадлежность матриц представителей смежных классов (х и х2) центру матричного представления. Поэтому эти матрицы равны константам, величины которых определяются соотношениями типа (50.27) — (50.34). По этой причине данный метод применим только к определенным несимморфным группам. Можно Заметить, что метод Зака существенно использует свойство разрешимости пространственных групп © [т. е. то, что индексы в последовательности нормальных подгрупп (50.1) — (50.3) являю'тся простыми числами, последнее из которых равно единице]. Это же свойство было отмечено Зейтцем в его первой работе по приведению пространственных групп [30].
Ясно, что процесс индуцирования с помощью подгрупп может быть продолжен до тех пор, пока мы не получим набор допустимых неприводимых характеров у$кИт) группы ©(/г). Далее, полная система характеров (т) получается, согласно
(37.3), индуцированием на группу © из группы ®{k). Ясно также, что системы характеров получаемые либо по
Заку, либо методом малой подгруппы, либо методом проективные представлений, должны быть тождественными. Можно про-. извести прямое сравнение метода Зака с другими методами, если использовать структуру кристаллографических точечных групп, в частности их ряды разложения, так как все эти группы разрешимы. Такое сравнение весьма трудоемко, поэтому мы его не приводим.
4 Подводя итог, мы можем отметить, что были даны три метода определения допустимых неприводимых представлений
“Х(/) (xNJ = ехр (2шр/3) [h{l) (х3)//,-]7’ hU) (^р), Р= 1, 2, 3.
(50.41)
(50.42)
Р= U 2, 3.
132
Глава 5
/}(*) (m)_ Следует ли использовать метод проективных представлений, метод малой группы или метод индуцирования Зака, если он применим, — это диктуется только соображениями удобства. Теперь можно считать, что эта часть задачи решена, полагая, что выполнено построение всех представлений D(' (т\
§ 51. Соотношения совместности для /)(**) ("*) и процедура ограничения представлений
Иногда нужно знать соотношение между неприводимыми представлениями D(т) и неприводимыми представлениями /)(**') <т'> для звезды с близким значением волнового вектора [28]. Иначе говоря, пусть канонические векторы k и k' звезд *k и *k' расположены в зоне рядом, т. е.
k' = k + x, (51.1)
где к — малый вектор. Так как свойства индуцированных представлений полностью- определяются свойствами малых представлений, достаточно рассмотреть допустимые представления
E)(k) (m) и ?)(*') (m')#
Свойства допустимых представлений и пол-
ностью обусловлены соответствующими им группами ®(k) и ®(k'). Обратимся к ситуации, когда рассматривается переход от точки k высокой симметрии к близкой точке k', такой, что
а) группа 4(k) изоморфна группе © (k') (51.2)
или
б) группа @(й') является подгруппой группы ®(ft). (51.3)
В случае «а», когда группа ®(k) изоморфна ®(k'), возникает одинаковый набор допустимых неприводимых представлений ?)(*)(т) и ?)(*') (m')t Хак как эти две группы изоморфны, можно установить взаимно однозначное соответствие набора с
набором ?)(*')(т'). Предположим далее, что при и—» О
(514)
поэтому можно идентифицировать индексы т и т'. Предположение о том, что в случае «а» ^ плавно переходит в
?)(*) (т) ПрИ х -> 0, по-видимому, не требует дальнейшего обсуждения.
В случае «б», когда группа ®(k') является подгруппой ®(k), ясно, что при переходе к ®(k') некоторые элементы группы ®(k) оказываются «утерянными». Это может иметь м^сто, если k—-точка высокой симметрии, тогда как k' находится на соседней линии или же представляет собой точку'с более низкой сим-
Неприводимые представления пространственных групп
133
метрией вблизи точки к. Назовем представление D(k) (m) группы © (к), рассматриваемое для элементов подгруппы ®(к'), ограничением представления на подгрупру ®(k'), т. е. [11, 12]
