Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
“X (хва^ц) = Zi Чи)• %„з,> (50.5)
где
Г 0, если у не входит в 3la(k), щп (») = ¦{ . 9 (50 6)
\ |3Х(;) (У)> если у входит в 9?з (ft).
Отметим, что х$п — представитель смежного класса в разложении по смежным классам (50.4). Следовательно, х$п является элементом группы 91а(к), но не группы 91$(к), за исключением случая «р = 1, когда х$П{ = Е (т. е. тождественному элементу). Отметим также, что для элемента x$n^N§, не входящего в (т. е. при пр Ф 1), ах — 0, тогда как для элемента N$ правая часть равенства (50.5) представляет собой сумму членов, соответствующих сопряженным неприводимым представлениям группы $р(Л).
Пусть для конкретности «р = 2, тогда из (50.5) имеем
aX (ЛГр) = (tfp) + ?'> (x-'N^x). (50.7)
Если — неприводимое представление группы !Jtp, характер
которого для элемента равен (N^), то сопряженное неприводимое представление BZ)W) определяется равенством
‘ »2)</>(ЛГр) в »?(/>(*-!#,,*). (50.8)
Следовательно,
(*-%*). (50.9)
Глава 5
В (50.7) — (50.9) представители смежных классов обозначены, опуская индексы, через х. Для произвольного элемента xN$, не входящего в 9tp, имеем
а% (xNq) — 0. (50.10)
В рассматриваемом случае следует тщательно исследовать, яв-' ляется ли индуцированное представление aD неприводимым [в отличие от этого индуцированное представление д(**) («) из
(37.3) неприводимо, как было показано в § 30—37]. Здесь следует различать два случая (рассматриваем по-прежнему яр = 2):
а) 6?)(/) не эквивалентно eD(/), (50.11)
б) BDW) эквивалентно (50.12)
В случае «а» [см. (50.11)] представление aD неприводимо вследствие неэквивалентности ограниченных представлений aD группы на подгруппе 5tp. Доказательство аналогично приведенному в предыдущих параграфах. В случае «б», когда Р?)(/> эквивалентно представлению Р0(;), легко показать, что индуцированное представление aD является приводимым представлением группы 9ta. Запишем подробно систему характеров для этого представления:
ах(^р) = 26х<у)(^р). если Nq входит в 5Rp, (50.13)
аХ (х)= 0, если х не входит в (50.14)
Образуем следующую сумму по всем элементам Na группы Ша:
? I аХ (Na) I2 = ? I еХ (Nf) |2 = 4 ? | hU) (Nf) I2 = 4gp, (50.15)
«а • «0
где gp — порядок группы при выводе использованы (50.13) и (50.14). Но порядок группы 91а равен ga == 2gp. Поэтому, если мы обозначим неприводимое представление группы 91а через aD(/\ а соответствующую систему характеров через то для этой системы имеем
?lWW = ?a = 2g (50.16)
Сравнивая соотношение (50.16) с (50.15), непосредственно видим, что представление aD группы 91а приводимо. Представление aD можно представить в виде суммы неприводимых составляющих
aX(^a)=?(/laX(/)(^a). (50.17)
Неприводимые представления пространственных групп 129
где (Л — числа, большие или равные нулю. Подставляя (50.17) в (50.15), получаем
? Е ? (/ I (Г Г a%{i) (Na) “х(П (Nay = ? | (Л |2 ga= 4gp=2ge> (50.18) »e / /' . /
? I (Л I2 = 2. ' (50.19)
В таком случае для двух различных неприводимых представлений существует единственное решение при (Л=1. Иначе,
(Л = (71= 1/ (50.20)
а
aX = aX(y) + aX(y)- (50.21)
Очевидно, что представление aD имеет размерность 2//, где
I,- — размерность представления Но теорема взаимности
Фробениуса показывает, что для представлений подгруппы SPg характеры ограниченных представлений можно определить следующим образом:
WA^WJVp), (50.22)
“X(7,(tfp) = V>(AV>- (50.23)
Таким образом,
dim — dim а%(Л = I/. (50.24)
Наконец, из (50.7), (50.22) и (50.23) получим
аХ(/) (лгЛ^р) = — (л:Л^3). (50.25)
Дать в общем виде точное и явное выражение для характеров ах(/) (x/Vр) элементов jdVp для /-го неприводимого представления группы 9ta, по-видимому, невозможно. Такое выражение можно получить в частном случае, когда х коммутирует со всеми элементами группы 9ta (и, следовательно, Э1р), т. е. когда
xNp = N^x. (50.26)
Разумеется, в этом случае группа 9la является прямым произведением группы -ftp и факторгруппы ОНа/ИНр. Далее, если для системы матриц “/)(/) неприводимого представления оказывается, что aZ?(/)(jt) принадлежит ядру представления, то
“/)»> (*) (Л^) = (ATg) «/)«> (*). (50.27)
Но представление группы Э1р неприводимо, поэтому, по
лемме Шура, имеем
«?>(/>(*) = constв ?</>(?). - (50.28)
130
Г лава 5
Чтобы определить эту константу, рассмотрим величину
aD</> (*)* = «D(/i [х2) = (const) »?></> (?)'. (50.29)
Так как х2 является элементом группы Sftg, то
«/)</) (л:2) = (.х2). (50.30)
Вычислим след матриц (50.29) и (50.30); тогда получим
р%(/) (*2) = (const)2'//, (50.31)
или
const = [Рх(/) W/’- (50,32)
Следовательно,
a%u4x) = [hil)(x2)/li]'l2-ll. (50.33)
Вообще, для произвольного элемента группы xfft^ в этом случае имеем
«Х<Л (xNfi) = ± [Зх</> (**)///’ вх(/) (дгр). (50.34)
Обозначения в (50.34) имеют обычный смысл.
Аналогичным образом можно проанализировать случай Np = 3. При этом разложение на смежные классы (50.4) имеет вид
Я«(*) = Яр(*) + хЭТр(*) + лНЯр(*). (50.35)
Система характеров индуцированного представления снова
определяется соотношением (50.5). Подобно (50.11), (50.12), следует различать два случая:
