Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 44

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 127 >> Следующая

«? Р
= g„N8(k-k')8mm', (49.5)
где сумма вычисляется по всем элементам группы ©.
Характер с точкой для произвольного элемента (49.4) связан простым сортношением с характером с точкой для одного элемента — представителя смежного класса. Так,
Х<*> 1т) ({Фр I тр + *1» = (exp - ik • ад<А) <т) ({фр I Тр}). (49.6)
Поэтому характер этого элемента в полном представлении равен
y(*k) (т) ({фр | Тр #L}) =
Sp
=i Z *(Л) (m) (fa* i T*>"J • fa* i tp+• fa* IT?}) ~
<7=1
I'».))• <«-7>
<7
В выражении (49.7) мы выделили трансляцию ф~‘ • RL, поскольку она зависит от индекса узла в решетке L, и ввели обозначение
t- • Т 4- ф-1 • Т —ф-1 • Т . (49.8)
ЯРЯ ^Р q г т<7 Р <7 9
Теперь следует подставить (49.7) в левую частъ соотношения (49.5). Получаем для левой части
Z Z Z Е Ш2 *(Л) <т) ((® к-1 • * К1; * % IW) х
X х<*'> <т) ({в I ф-Д • * {ф”,1 • Фр • qy| t'rpq)y. (49.9)
Неприводимые представления пространственных групп f 25
Упростим последние два сомножителя (49.9), используя (49.6); тогда для их произведения получаем
ехР - i (kq - k'q) • <"*> ({ф-> • Фр • ф, | tq-pq}) X
X г(У) (m) ({ф^1 • Фр • чу | trpq,}), (49.10)
где в соответствии с нашими обозначениями
(*, - К) '*/: = *¦ (V • *L ~ • *L)- (49.11)
Используя (49.10), можно выполнить суммирование по всем RL;
тогда получим
? exp - i (kq - k'q) • RL = N6 (kq -k'q,), (49.12)
где
KK~K) =
Но оба вектора k и k! являются каноническими векторами своих звезд, поэтому из (49.13) следует два условия:
k = k' (49.14)
Ф71 • qy = (49.15)
где ф, входит в группу <&{k). Два условия (49.14) и (49.15)
позволяют выполнить остающиеся суммирования, так как теперь в произведении (49.10) оба характера с точкой относятся к одной и той же группе ©(&), так что можно связать аргументы этих двух характеров. Соответственно (49.9) принимает вид
ZEE Ш2 «*." •*»•». I«)х
X iw <m) ({ф/-1 • Ф9-1 • Фр • % • Ф,х | (49.16)
где индекс суммирования q' обозначен как %.
Однако, поскольку ф^ представляет собой один из поворотов группы © (&), для одного значения q существует только значений q', для которых выполняется (49.15). Поэтому в сумме по % имеется только 1К членов. Но согласно аргументам, приведенным для элемента (ф/J TzJ группы ®{k) в (49:1), имеем
равенство ' '
х(А) (т')({<р^1 • Ф71 ¦ ФР • %’ Ф/J *Мря>]У =
= х(й)(т')({%-1-фр-^1^Л)*’ <49Л7)
1, если ф • k = ф . • k' + 2пВн,
4 q Н (49.13)
0 в остальных случаях.
126
Глава 5
которое не зависит от Я. Следовательно, суммирование по Я просто сокращает один множитель /*.
Теперь остается вычислить
г II *'*’« ({?," • V», IW) *'в ,ш'1 (К’-»р-ф,1
(49.18)
В (49.18) суммирование по р и q выполняется по всем представителям смежных классов группы ®, а неприводимое представление k фиксировано.
При фиксированном q в сумму по р каждый элемент группы ®(k)/Z входит только один раз, так что имеем
? хт {т) (К-1 • Фр - % | *ш}) г(к) {т'] ({ф;! • Фр • ф J t9pq})* = кьтш’-
(49.19)
Остающаяся сумма дает число, равное порядку группы
l = gP- (49.20)
<?
Комбинируя результаты (49.13), (49.20) и (49.12), получаем соотношение (49.5), которое и требовалось доказать.
§ 50. Построение представления <т> индуцированием из групп, заданных в подпространствах
В этом параграфе мы коротко изложим другой метод получения системы характеров x(ft) (т) допустимых неприводимых представлений (т) группы ®(k). Этот метод основан на общей теории построения индуцированных представлений группы по представлениям подгруппы. Теория построения полных неприводимых представлений (т) пространственной группы индуцированием из представлений ?)(**) ("О, изложенная в § 36, 37, использует тот же общий метод. В частности, обсуждаемое ниже приложение общей теории групп к теории пространственных групп было впервые предложено Заком [40, 41].
Метод Зака основан на построении последовательности нормальных подгрупп пространственной группы ®{k), причем последней подгруппой является группа ?. Эта последовательность обладает тем свойством, что порядок факторгруппы по отношению к нормальной подгруппе группы равен только 2 или 3. Другими словами, будем считать, что группа ®(k) имеет нормальную подгруппу ki(k), такую, что
®(Л) = 5М*)+ ... +xla&i(k), «,<3, (50.1)
где х1п = |ф.; j — некоторый представитель смежного класса группы ®(k). Пусть 9^1 (й) имеет нормальную подгруппу
Неприводимые представления пространственных групп 127
такую, что
% (*) = %(к)+ ... + x2nsjl2 (к), п2 < 3. (50.2)
Продолжим этот процесс до тех пор, пока не придем к группе 2, т. е.
gt/_,=2+ ... +*/П(г. 3. (50.3)
Остановимся теперь на процессе построения индуцированных неприводимых представлений при переходе от нормальной подгруппы 9^ (Л) к следующей группе 9?a(ft), где
% (к) = gyft) + ... + (к). (50.4)
Обозначим символом Р%(/> систему характеров' /-го неприводимого представления группы 91р(Л). Следовательно, каждому элементу N$ группы 91р(Л) приписывается характер ®%{n(Ng,). Система характеров “х Для представления aZ), индуцированная из рх(/)> может быть получена способом, в точности сходным с (37.3). Поэтому система характеров дается формулой
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed