Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
пространственной группы ©.
Совокупность всех представлений
/>(**) (т) для ВСех допустимых пг и для всех *k (47.4)
представляет собой полный набор неэквивалентных неприводимых представлений пространственной группы @.
§ 48. Доказательство полноты набора представлений !)(**) («*>
Чтобы продемонстрировать полноту набора представлений ?)(**) (т) (47.4), мы используем соотношение для характеров
(15.7), переписанное применительно к пространственным группам. Согласно (37.3), характер произвольного элемента равен
Х(*А) (т) ({фР I тР}) = Z Х(А) {т) ({фо I То}-1 • {Фр I т } • {<р01 т0}), (48.1)
а-1
где индекс о Ф 1 относится к представителям смежных классов группы @ [но не группы ©(?)], аа= 1 соответствует тождественному элементу.
Наше доказательство полноты является модификацией подобного доказательства, данного впервые Дёрингом и Целером
122
Глава 5
[39]. Требуется показать, что
ril%(**)(m,({e|0})|2 = gptf, (48.2)
*k т
где gp — порядок группы ©/? (т. е. число различных noBopot-ных элементов в @), N — число трансляций в группе ?, суммирование в левой части выполняется по всем звездам *k в зоне и по всем допустимым неприводимым представлениям группы @(Л). Ограничение суммирования «допустимыми» т в (48.2) является неудобным, но может быть снято. Например, если для получения допустимых неприводимых представлений группы ®(k) использовать метод малой группы, то следует рассматривать группу ®(k)/Z(k), где Z(k) включает в себя все элементы симметрии из группы ?, матрицы которых в данном представлении совпадают с матрицей тождественного элемента. Как было показано в § 39 и 40, ®(k)/Z(k) является группой порядка (t-lk). Следовательно, если рассматривать все неприводимые представления D(k) {т) группы @(Л)/?(Л), то соответствующие им характеры удовлетворяют соотношениям
? lx<*><m4{e|0})|2= ? I I2 = у, (48.3)
все гп все т
где 1т — размерность допустимого неприводимого представления. Как показано в § 38, 39 и 44, среди t целых чисел 0, 1, ... ..., (t—1) только одно t'= 1 соответствует допустимому неприводимому представлению. Тогда
? | %<*><«) ({е|0})|2 = ? |/m|2 = /*. (48.4)
допустимые tn допустимые т
Такой же точно результат получается и методом проективных представлений. В последнем случае его можно трактовать как соотношение полноты для проективных представлений группы ф(Л) соответствующих специальной допустимой системе факторов (43.6), полученной каноническим преобразованием в § 43. Напомним, что группа ф(Л) содержит /*> смежных классов, а группа !{5*(Л) состоит из элементов.
Для произвольной звезды, имеющей s лучей,
y(*fc) (т) ({8 | о» = s • 1т, (48.5)
так что
| у(*к) (т) це 10}) |2 == s2l2m. (48.6)
Но так как звезда содержит s векторов, то можно считать, что каждый вектор дает вклад в сумму (48.2), равный (s • 12т). Заменим суммирование по звездам в (48.2) суммой по всем век*
Неприводимые представления пространственных групп 123
торам в зоне следующим образом:
11 I %{*k) (т) ({« 10}) |2 = I Е s ¦ (U2 (48.7)
*k т
*Ь т
к
Однако lk совпадает с порядком группы $(?), а произведение s • lk равно
s-lk = gP> (48-8)
где gp — порядок полной точечной группы кристалла $. Используя (48.8), можно вынести выражение в (48.7) из-под знака суммы. Тогда с учетом равенства
где N — число различных неэквивалентных волновых векторов в первой зоне Бриллюэна, равное числу трансляций в группе ?, получаем доказательство соотношения (48.2). Следовательно, мы видим, что набор, входящий в (48.4), действительно представляет собой полный набор неэквивалентных неприводимых представлений. Таким образом, процедура, описанная в § 47, дает все представления D(т) группы ©.
§ 49. Доказательство соотношений ортогональности и нормировки для представлений (т)
Докажем теперь соотношения ортогональности и нормировки. Они, разумеется, должны выполняться, поскольку, как мы знаем, ^представления неприводимы. Во-первых, нам следует перейти в (48.1) от суммирования по представителям смежных классов вида {фст|т0}, определенных соотношением (36.2), к суммированию по всем представителям смежных классов. Заметим, что если элемент {ф^|т^} входит в группу ®{k), то необходимым и достаточным условием того, что элемент
входит в группу ©(?), является принадлежность элемента {фр[тр} группе ®{k). Следовательно, расширение суммирования в (48.1) на всех представителей смежных классов дает всего лишь множитель 1//й, где h— порядок группы ®(k)/Z. При этом мы учитываем, что вследствие единственности разложения ® на смежные классы по подгруппе ®(k) любой представитель смежного класса может быть записан в виде
(48.9)
k
(49.1)
(49.2)
124
Глава 5
Таким образом, вместо (48.1) можно записать
еР
Х(*л) <"> ({ФРI тр}) = -L ? *<*> (т) (fa, I т,Г1 • faPI *Р} • {ф? I тЛ),
(49.3)
где суммирование выполняется без ограничения по всем представителям смежных классов {ф^ ] в группе ®.
Рассмотрим типичный элемент группы ® в виде
fap IТР + Rl}- (49.4)
Тогда соотношение ортогональности и нормировки, которое следует доказать, имеет вид
? ? (m) ({фр | тр + tfL}) х(**'),т,)({фр | тр + я?})* ='
