Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
') Во ussinesq J., J. de Math., 4 (1878), 335—376. Carrier Q. F., Prim a R. C., J. Appl. Mech., 23 (1956), 601—605, предложили поправку второго порядка.
230
Гл. VI. Присоединенные массы
гии б расчете на элемент поверхности площади dS равна ([7], стр. 620, (9)) величине
-dE = P]/r ^-v2(x)dS, (50)
где Ui(x) есть максимальная локальная тангенциальная скорость в течении Эйлера. Зная vt(x), можно вычислить —Ё и, следовательно, силу F, проинтегрировав выражение (50) по поверхности тела.
Так, если 2— сфера радиуса а, то vt(x) — (3q/2) sinS. Интегрируя, получаем —Е = Зтср У vu>/2q2a2. Следовательно, сила, действующая на сферу со стороны пограничного слоя, равна
Е= бтгр^г уЧш = |у р . объем (2)j j == 9tn'S. (51)
Аналогичную формулу можно вывести для синусоидальных колебаний твердого тела произвольной формы *)•
Применив к уравнению (48) преобразование Фурье, можно также вычислить результирующую силу в случае малого движения при любом его протекании в прошлом2). Однако основной вопрос таков: применимы ли полученные таким образом формулы, и его мы сейчас рассмотрим.
§ 116. Колебания с большой амплитудой
Хотя часы с маятником сейчас имеют куда меньше значения, чем в 1800 г., однако было выполнено много опытов с тем, чтобы проверить правильность формулы Стокса (49) 3). Очевидно, что множитель присоединенной массы k и коэффициент затухания являются функциями как относительной амплитуды а, так и числа Стокса S. К сожалению, при свободном затухании величина а — переменная, и в большинстве опытов она не замерялась; по этой и по другим причинам значение многих опытов остается неясным.
Пожалуй, наиболее важными для случая больших амплитуд н малых 5 являются опыты Кейлегана и Карпентера4) с ци-
•) Llghthill М. J., Ргос. Roy. Soc., А224 (1954), 1—23.
s) Rayleigh, Phil. Mag., 21 (1911), 697—710; еще раньше такие
формулы получили Boussinesq и Basset.
3) Meyer О. Е., /. /. Math., 73 (1871), 31—68; North way М. Y., Mackenzi, Phys. Rev., 13 (1901), 145—164; McEwen Q. F., там же, 33 (1911), 492—511; Marty L,, J. de Phys. et Radium (Paris), 6 (1936), 373—382; Valensi J., Clarion C., Bull. Soc. France Мес., № 8; Richardson E. G., Tait R, I., Ost. Ing.-Archiv, 8 (1954), 200—207. Другие ссылки даны ниже и в § 103—104; см. также § 31—32.
4) К е u 1 е g a n G. Н., Carpenter L. Н., J. Res. Nat. Ви. Standards, 60 (1958), 423—440,
§ 116. Колебания с большой амплитудой
231
линдрами и пластинками, помещенными в колеблющуюся жидкость, Полученные в этих опытах данные показывают любопытную зависимость присоединенной массы и затухания от относительной амплитуды, чего нет в формуле Стокса.
Пусть х = A sin §# обозначает зависящее от времени смещение, так что Г = 2и/р есть период, 8 = $t — фаза и Щп — Лр — максимальная скорость. Сила Х(8) измерялась как функция фазы; ввиду симметрии, X (9 4- тг) =—-^(8). Обозначим диаметр тела
2 через d, так что относительная амплитуда равна а = 2A/d.
Для измеренных значений функции Z(8) оказалась подходящей полуэмпирическая формула
— *(6) ~ схIX | + Мх. (52)
В основе этой формулы лежит предположение, что сила —X (В) должна быть суммой силы лобового сопротивления D —
— i рdx2Cn, пропорциональной квадрату скорости, и инерциальной силы Мх = (upd2/4) Смх, пропорциональной ускорению. Если бы действительно было так, то Со и См можно было бы вычислять по формулам
= Г ^(0)cos9fi?0 (53)
4Р umd g
И
2я
Сж = -т%~Г (530
* Рumd $
Эмпирически было найдено, что для данных, полученных при колебаниях с большой амплитудой, вполне справедлива формула (52), когда эмпирические постоянные Со и См определяются по формулам (53) и (53'). Измеренные значения постоянных Св и См зависят в первую очередь от относительной амплитуды а = 2A/d и сравнительно мало1)—от числа Стокса S. Графики измеренных значений Со и См изображены на рис. 28.
Интересно сопоставить формулу (52) с формулой, которая получается при стоксовых приближениях для малой амплитуды, т. е. с формулой
— Х($) — с[х-\-т*х, т* = {т! + т0), (520
') Когда а 1, можно ожидать, что связь с «числом Рейнольдса» Re — umdjv — a/25s будет иметь большое значение; см. Bagliarello — работу, цитированную в § 103,
232
Г л. VI. Присоединенные массы
где пг' — теоретическая присоединенная масса, а масса вытесненной жидкости — /по = р• объем (2). Для плоской пластинки, поставленной поперек течения, или для кругового цилиндра известно ([7], стр. 85), что т' - крсР/4. В формулу (52') необходимо
Рис, 28. Присоединенная масса цилиндра (вверху) и пластинки (внизу).
включить член то, так как препятствие удерживается неподвижным в колеблющейся жидкости; этого слагаемого не было бы, если бы препятствие колебалось в неподвижной жидкости. Эту разность можно вычислить, если учесть, что в системе жидкость постоянной плотности р и твердое тело при синусоидальных поступательных колебаниях всей системы на твердое тело 2 действует сила тох. Очевидно, что ^(8) не зависит от р.
Для сравнения были вычерчены также кривые значений См — для цилиндров и пластинок соответственно, — полученных
