Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биркгоф Г. -> "Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие" -> 87

Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.

Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие — М.: Иностранная литература, 1963. — 246 c.
Скачать (прямая ссылка): gidrodinamikametodipodobie1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 96 >> Следующая

— Tikqk+qk d(jh qh 2 dq, qhqk — ^ 2 dq( * (39)
так как qi = 1, = 0 при j = 2, .r n qk = 0 при всех k. Это —
видоизмененный тензор Кристоффеля (130; согласно § ПО, коэффициент пропорциональности и2 — Тц подходящим выбором масштаба времени можно свести к единице. В конечном счете в действительности нас интересует не геодезическая кривизна, а величина Q, так что вопрос о коэффициенте пропорциональности не должен нас занимать.
Вычислим теперь частные производные, входящие в последнюю из формул (39). Для этого заметим, что, по определению, бесконечно малый вектор dq' с началом в exp(??'i) эквивалентен при левом сдвиге бесконечно малому вектору dq с началом в тождественном преобразовании 0 тогда и только тогда, когда
exp (tEh + dq') = {exp (tEt)} • dq. (40)
Но правую часть выражения (40) с помощью разложения в ряд Шура — Кэмпбелла — Хаусдорфа ]) можно представить в виде
{ехр (*?,)} • dq = exp ftEt + dq + jt [Et, dq\ + (41)
где опущены члены, содержащие t во второй степени. Поскольку dq и dq' эквивалентные бесконечно малые, отсюда следует соотношение
dq = dq' — ~t [Е„ dq'\ +... . (41')
Теперь, записав, что dq — dqiEi + ..« + dqnEn ndq' — dq[E\ +¦ + ,.. + dqnE„, получим, цо определению, подобно формуле (36) следующее равенство:
[Eit dq'j^dq^, E^dq'^E,.
!) Эта классическая формула доказана при весьма общих условиях на стр. 92 статьи автора «Analytical groups» (теорема 14). Trans. Am. Math, Soc., 43 (1938), 61—101,
§ 112. Силы и коммутаторы
225
Подставив его в векторное уравнение (41') и приравнивая соответствующие компоненты, получим основное соотношение
dqh = dq'h~-~ tef/ dq) + (42)
где отброшены члены со степенями t выше первой.
Но, по определению риманового группового многообразия, ds2 инвариантно относительно левых переносов. Поэтому, в силу условия (40) и соотношения (42), можно записать следующие равенства:
dqJhk (t^t) dqk — dqh Thk (0) dqk —
=К -1K1 <*?;) тя № teg «*»;)=
= Ля'нTh, (0){<*' dq)Tt, (0)iq\ + dq’hT„ (0)
с точностью до членов выше первой степени относительно t. Переставляя «немые индексы» суммирования /, h и I, k в фигурных скобках, чтобы приравнять коэффициенты, получаем соотношение
Tkh{tEL) = Ты (0)-i< [с? Tjk (0) + cf Tht(0)} + ... .
Теперь, продифференцировав по < и обозначив оба индекса суммирования через /, получим формулу
т?-=-тМ‘7'«+*?7'«) "ри «¦ <«>
Далее, подставив формулу (43) в выражение (39), получим равенство
4 Qt = 2су Тп ~~ 2Т{. + Тп + <*Т1Г
Кроме того, в силу известной антисимметрии (Ei, Ei] =
— —[Ej, EJ получаем для структурных постоянных —с1! = с1У и с” = 0. Подставляя эти выражения в предыдущую формулу и сокращая на четыре, мы получаем окончательную формулу5)
Qi==c"Tir (44)
') Формула (44) была получена в 1945 г. Джоном Брейкуэллом и автором независимо друг от друга. См. Abstract, 52—7—242, Bull. Am. Math. Soc., 52 (1946), 617,
226
Гл. VI. Присоединенные массы
Очевидно, что в случае стационарного движения вдоль оси Ен соответствующая формула будет иметь вид
Qt= 2 cfTh. = - 2 c'yThj. (44*)
j -i j“i
Следовательно, для существования стационарного движения частицы в некотором римановом групповом многообразии G вдоль Ен требуется внешняя сила (44*). Другими словами, Mi (суммирование по /, но не по h) есть геодезическая кривизна однопараметрической подгруппы exp (tEh) на группе G. Если мы выберем нормальный ортогональный базис Е\, ..., Еп в метрике ds2 при 0, то эта кривизна будет равняться просто с[н
§ ИЗ. Приложения
Пользуясь только общей формулой (44*) и соотношениями коммутативности (35) евклидовой группы, можно вывести выражение для внешней силы, которая необходима, чтобы поддерживать стационарное поступательное или вращательное движение в идеальной жидкости. (Сила, с которой жидкость действует на тело, конечно, равна этой силе по величине и противоположна по направлению.) Так, при стационарном переносе Еи вдоль оси Jti эта сила равна
(О, 0, 0; 0, 7\3> — Тг2). (45)
Аналогично при стационарном вращении ?4 с угловой скоростью в один радиан за секунду вокруг оси *1 требуется сила
(0, ТАз, Тф, 0, Т46, Ti5). (46)
Это классические формулы Кирхгофа и Кельвина1); заметим, что формула (45) сводится к 0 (стационарное движение при отсутствии внешних сил), если тензор кинетической энергии
3
2 Tijqiqj поступательного движениядиагонализирован. Иначе го-1
воря, стационарное поступательное движение при отсутствии внешних сил (теоретически) возможно вдоль главных осей тензора кинетической энергии поступательного движения и ни в каком другом случае2).
') Относительно формулы (45) см.- [7], п. 124, формула (4); в § 125 из [7] формула (46) дана неявно; см. также приведенную там библиографию.
2) Устойчивость таких поступательных движений исследовал U г-sell Н. D,, Proc. Camb. Phil, Soc., 37 (1941), 150—167.
§ 113. Приложения
227
Несмотря на то что предшествующие формулы сугубо теоретические и что стационарное поступательное движение при отсутствии внешних сил физически невозможно, формула (45) дает классическое объяснение стремлению плоской пластинки стать широкой стороной перпендикулярно к течению. Нетрудно показать с помощью (45), что устойчивым будет стационарное поступательное движение вдоль главной оси, соответствующей максимальному компоненту тензора кинетической энергии. Этот вывод качественно согласуется с экспериментом.
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 96 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed