Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Объем книги не позволяет изложить теорию групп Ли достаточно полно, для того чтобы все подробности вывода были ясны. Все же хочется дать достаточно сведений для того, чтобы можно было уяснить себе смысл окончательной формулы, по крайней мере в случае евклидовой группы.
Если твердое тело движется с единичной скоростью параллельно оси хи то скорость любой частицы тела равна (1, 0, 0). Поэтому если F(xx, х2, xs) есть произвольная функция, определенная во всем пространстве, то скорость изменения значения этой функции по отношению к такой частице равна dF/dxi. Оператор д/дхи определенный таким образом, называется символом Лагранжа и выражает бесконечно малое преобразование, связанное с поступательным движением твердого тела в направлении, параллельном оси Ху,
Если твердое тело вращается с единичной угловой скоростью (один радиан за секунду) вокруг оси Xi, частица с координатами (хь х2, *з) будет иметь скорость (0, —х3, х2). Скорость изменения функции F(Хи х2, Хз) относительно данной частицы равна x2dF/dxз — хзdF/dx2. Поэтому бесконечно малое преобразование, связанное с вращением относительно оси Х\, выражается
>) О них см. в следующем параграфе, — Прим. переа.
222
Гл. VI. Присоединенные массы
символом Лагранжа (линейным дифференциальным оператором) хъд/дхз — х3д/дх2.
Итак, в соответствии с шестью степенями свободы движения твердого тела мы будем иметь шесть бесконечно малых преобразований, которые можно записать в виде
с ^ р д д
^ -V2 ТЩ~ д"л ’
Е’=тк- (30>
Р _ д F __ д д
дх3 ' Zs—Xi дх2 *2 дх% ¦
Им соответствуют векторные поля (поля скоростей) (1,0,0), (0, 1,0), (0, 0, !):, (0, — х3, х2), (дез, 0, — XI), (—х2, хи 0),
Результат действия поля скоростей (бесконечно малого преобразования) Е{ в течение времени t обозначается через exp(/?i); таким образом, ехр(2?4) обозначает поворот около оси Xi на два радиана. Если t < 0, то exp(tEi) будет обозначать преобразование, обратное преобразованию ехр(—tEi). Таким образом, для всех действительных t, и имеем тождество
exp (tEi) exp (uEt) == exp ({* + «}E(). (31)
Каноническими параметрами, например евклидовой группы, называются параметрические представления «твердых» движений при помощи векторов, так что движение твердого тела, которому соответствует вектор t = (ti, ..., t6), представляет собой конечное преобразование
ехр(^?',+ ... -Н6?6), (32)
которое выражает полное перемещение тела при воздействии на него поля скоростей txEi + ... + t6E6 в течение единицы времени.
Наконец, скобка Пуассона, или коммутатор [?,] двух бесконечно малых преобразований Et и Е$, определяется как двойной предел
lim \~ exp (—tEf) exp (—иЕЛ exp (tE^) exp (н?Л1. (33)
t. ы->0 L J -J
Известно, что этот предел представляет собой дифференциальный оператор ')
дхь
/г, k
(34)
’) Запись EiEj всюду означает, что сначала применяется оператор а потом Ej.
§ 112. Силы и коммутаторы
223
который можно легко вычислить. Так, например-, в случае евклидовой группы получим тождества:
IЕи ?2] = (?„ Я4] = 0;
[Я„ Я5] = ~Е8; [Е4, Е,\ = -Е6. (35)
С помощью очевидного тождества [?*, Ej] = EJ, из,которого, в частности, следует ?,] = 0, и циклических перестановок индексов в тождествах (35) можно вычислить также и все другие скобки Пуассона Ей ..Ев-
Интересно отметить, что в случае бесконечно малых вращений ЕА, Ег, Ев, скобка [Е*, Erf есть просто внешнее, или векторное, произведение Ej X Ei. Опять-таки, если Ei и Ej (или эквивалентные ехр (tEf) и exp (uEj)) перестановочны, так что EiE, — = EjEi, то [?¦{, Mj] — 0, и наоборот.
Заметим, что в тождествах (35) всегда справедливо соотношение
[Et, ?,] = 2 (36)
к
где ci1 — соответствующие постоянные. Основная теорема Ли заключается в том, что соотношения, аналогичные (36), справедливы для любой конечно-параметрической группы. Постоянные сь называются структурными постоянными группы и определяют группу с точностью до изоморфизма.
Мы надеемся, что приведенные только что объяснения позволят понять излагаемые ниже результаты, даже несмотря на то, что их доказательства может понять лишь тот, кто уже знаком с теорией групп Ли.
§ 112. Силы и коммутаторы
Пусть теперь G — произвольное /-параметрическое риманово групповое многообразие, и пусть С — любая однопараметрическая подгруппа группы G, порожденная бесконечно малым преобразованием Е,
В группе G вблизи тождественного преобразования всегда можно ([78], стр, 47) так ввести канонические параметры с базисом из бесконечно малых преобразований Еь Е2, ..Еп, что
если q = (qi, ..qn) —любой достаточно малый векторный эле-
мент группы G, то
q = ехр (дЛЕ\ Н- ... -f- q„E„). (37)
С помощью этого обобщения формулы (32) можно получить следующее обобщение тождества (31):
>q . jj.q = (X-j-ji.) q, (38)
224
Гл. VI. Присоединенные массы
где r-s обозначает («групповое») произведение пив группеG.
Теперь рассмотрим геодезическую кривизну подгруппы С при q = 0 в метрике ds2='SiTljdqldqj. В силу § 108, ее величина пропорциональна следующей величине:
Л d (дТ\ дТ d . 1 dThk ¦ ¦
dt \dg.) dqi ~ dt ^Tik4k) 2 dqi QhQfc —
т ¦* I ' dTik ' 1 dThk • ¦ дТп 1 дТи
