Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Подставив это в равенство (28), получим соотношение
*1 А
5 J Tdt = 0+ f Q\bq.(t)dt. (29)
Это соотношение доказывает тождества (23), следовательно,
Q\ = Qi.
§ 110. Однородность
Риманово многообразие V, определяемое формулой (19) по пространству конфигураций твердого тела 2 в бесконечной идеальной жидкости, замечательно тем, что оно обладает простой транзитивной группой «изометрий» (движений твердого тела), оставляющих инвариантным ds. По современной математической терминологии оно является однородным пространством, Это объясняется следующим очевидным теоретико-групповым принципом относительности: относительно рассматриваемого тела все положения эквивалентны. Формально это можно выразить следующим образом.
Различные положения q = а, Ь, с, ... тела в пространстве взаимно однозначно соответствуют различным движениям твердого тела, а, |3, перемещающим тело из фиксированного на-
чального положения отсчета 0 в положения а, Ь, с, ... . Поэтому мы можем отождествить точки пространства конфигураций с элементами евклидовой группы [45, стр. 259]. Кроме того, если а есть некоторое отдельное движение твердого тела, то для наблюдателя в положении а положение а о представляется точно та-
телом, образуют инвариантное множество ([It], т. I, п. 50). Нужно также отметить, что поверхностные интегралы от Щхп и рЪхп, взятые по большим
сферам, стремятся к нулю, так как 8лг„ = О (С и dt) =0 (1/г3).
220
Гл. VI. Присоединенные массы
ким же, каким о представляется наблюдателю в 0, поскольку все декартовы системы координат эквивалентны. Поэтому «группа переносов» а-*-аа не может изменить метрику (19), определяемую кинетической энергией.
Пусть теперь а изменяется: рассматривая V как групповое многообразие евклидовых групп, мы видим, что V имеет «просто транзитивную»1) группу «изометрий» (т. е. движений, оставляющих инвариантной метрику ds2). Подобное многообразие мы будем называть римановым групповым многообразием; и мы всегда можем рассматривать изометрйи как левые переносы.
Кроме изложенного, можно сделать еще одно теоретико-груп-повое замечание. «Стационарным движением» в динамике называют движение, которое, если рассматривать его по отношению к осям, связанным с телом, не зависит от времени. Как и в формуле (13), ускорение q стационарного движения увеличивает значение Qi = '^d(Tl}q})ldt-\- {dThkjdq^qhqk на величину Следовательно, для того чтобы получить силы при произвольном движении, мы просто можем сложить силы, соответствующие ускорению q из начального состояния покоя, рассмотренные в § 100—102, и силы, действующие при стационарном движении. Так, если мы хотим определить силы, действующие на твердое тело при его стационарном движении в идеальной (т. е. несжимаемой невязкой) жидкости, то мы можем определить силы и при любом движении. Поэтому мы ограничимся задачей определения сил, действующих при стационарном движении.
Хорошо известно2), что единственными геометрически возможными стационарными движениями твердого тела в евклидовом пространстве являются поступательное и вращательное движения с постоянной скоростью и винтовое движение с фиксированным шагом и тоже с постоянной скоростью.
По определению, если a(t) — стационарное движение, то смещение о, необходимое для перехода от a(t) к а(^ + ft), зависит только от Л, т. е. а есть a (ft). Поэтому
а (0) а (Н -j- /г') = а (h + /г') = а (/г) а (hr) = а (0) а (Л) о (/г').
Сократив в равенстве слева на величину а(0), получим тогда c(h + h’) = o(h)a(h')\ следовательно, перемещения a(h) образуют однопараметрическую подгруппу относительно канонических
’) Под этим подразумевается, что при данных о, т 6 Vсуществует одно и только одно а, такое, что оа = т. Мы предполагаем здесь некоторое знакомство с левыми переносами абстрактной группы.
2) См., например, Ames J. S., Murnaghan F. D, Theoretical Mechanics, стр. 87,
§ III. Сведения из теории групп Ли
221
параметров1), а а(0 является ее отображением при изометрии, а именно при групповом переносе a(t) -*-a(0)-o(t) = a(t).
Кроме того, так как полная кинетическая энергия при стационарном движении постоянна, то, очевидно, s = v постоянна в соответствующем римановом многообразии V. Отсюда, согласно § 108, при стационарном движении вектор силы Q равен произведению вектора геодезической кривизны однопараметриче-ской подгруппы о(Л) на постоянную v2. Следовательно, сила, действующая на твердое тело при его стационарном движении в идеальной жидкости, пропорциональна вектору геодезической кривизны соответствующей однопараметрической подгруппы евклидовой группы V при надлежащей «лево-инвариантной» метрике в группе V. А эта лево-инвариантная метрика определяется во всех точках уже рассмотренными в § 100—102 «инерцналь-ными коэффициентами» Тц (0).
§ 111. Сведения из теории групп Ли
Теперь мы выведем формулу для геодезической кривизны однопараметрических подгрупп произвольного риманового группового многообразия. Этот результат, между прочим, представляет интерес и в геометрии групп Ли — это еще одно свидетельство того, что вся математика по существу едина.
