Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому надлежащим выбором z можно добиться равенства Тis = Т24 и аналогично получить Тиз = T3i и Г26 = Т35. Таким образом, матрицу инерциальных коэффициентов можно привести к упрощенной форме, которая указана на рис. 27.
В эту каноническую форму входят пятнадцать произвольных постоянных, число которых можно свести к тринадцати, изменив масштаб длины и времени. Итак, общий случай характеризуется тринадцатью безразмерными отношениями и двумя преобразованиями единиц измерения.
Если тело имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, как эллипсоид, то их можно взять в качестве коор-
') Используемые здесь алгебраические теоремы доказаны, например, в [45], гл. IX, теорема 21. По поводу самих результатов см. [7], § 126; общий случай рассмотрел Clebsch, Math. Annalen, 3 (1870), 238. Относящиеся сюда другие результаты см. Morgan G. W., Quar. Appl. Math., 12 (1954).
277—285.
214
Гл. VI. Присоединенные массы
динатных плоскостей. Отражение, скажем, в плоскости (х, у) оставляет Z, даь неизменными, но меняет знак на противоположный у X, У, шз; кинетическая энергия при этом не изменяется. В силу этого Ти = —Гз1 = 0, и аналогично
732 ~ ^36= ^41— Т42= — Т51 — Т52= 7'56 = 0.
Повторяя это рассуждение для других координатных плоскостей, мы видим, что матрицу инерциальных коэффициентов
Перенос Вращение
а 0 0 р ? V
0 Р 0 $ а С
0 0 У V t т
Р V т 44 Т 45 Т 46
* а 1 Т 45 Ты Т 56
п с 7* Т 46 т 56 ^66
Рис. 27.
можно диагонализировать. Таким образом, у нас остаются шесть произвольных постоянных и четыре безразмерных отношения (их только два в случае твердого тела в вакууме).
Другой интересный случай — симметрия относительно трех взаимно перпендикулярных осей, но без симметрии относительно плоскостей, проходящих через эти оси. Типичным примером является винтовая линия: x — r cos г, у *= г sin г, И<1, |zj <; 2ir.
В силу симметрии относительно оси г остаются неизменными Z, Шз, но меняется знак на противоположный у величин X, Y, Шь W2- Поэтому, как и выше, получаем равенства
Г13 = Т23 = Ti3 = Гдз = Т16 — Т26 = ТА6 =Т56~0.
Повторив это рассуждение для других координатных плоскостей, мы видим, что, кроме «винтовых произведений инерции» р, а, т, все коэффициенты, стоящие вне главной диагонали, обращаются в нуль. Таким образом, здесь мы имеем девять коэффициентов инерции, и при помощи изменения масштабов длины и времени их можно свести к семи существенно независимым параметрам.
Приведенные выше рассуждения можно равным образом применить к тензору присоединенной массы, хотя, вообще го-
§ 108, Геометрическая интерпретация
215
воря, главные оси будут при этом другими, если только они не являются осями симметрии. Мы рассматривали тензор кажущейся массы с целью включить сюда известный случай твердого тела в пустоте в качестве частного1).
§ 108. Геометрическая интерпретация
Теперь мы будем трактовать теорию кажущихся масс как раздел чистой геометрии. Начнем с того результата из § 100, 101, что система, состоящая из твердого тела 2 в идеальной жидкости, есть инерциальная лагранжева система с кинетической
энергией, равной Т — -^Thkqhqk. Отсюда можно легко вывести
классический результат2), заключающийся в том, что «естественные» траектории, получающиеся при отсутствии внешних сил, представляют собой геодезические линии. В частности, <3 = 0
в формуле (3) тогда и только тогда, когда § Т dt принимает
минимальное значение. Это очевидное следствие из уравнений Эйлера представляет собой простейший случай принципа наименьшего действия — вариационной формулировки динамических задач.
Точнее, пространство «конфигураций» q = (qu ..., q6) нашей системы есть риманово многообразие с «длиной дуги»
Ti}(4)d<h dq}. (19)
Кроме того, поскольку энергия не изменяется, ds/dt есть ве-
Т ds, так и f Т dt принимают экстремальные значения (локальный минимум). Эти положения легко проверить на известных примерах.
Так, если V = V2 есть поверхность без трения х — x(qu q2) в обычном пространстве, мы видим, что реакция связи перпендикулярна поверхности V2; поэтому при отсутствии внешних сил нормаль к траектории частицы служит нормалью к V2; как известно, это условие характеризует геодезические линии. В более общем случае рассмотрим произвольную траекторию ч на поверхности Vs. Нормальной к поверхности V2 составляющей силы реакции обычно пренебрегают. Остается сила в плоскости, касательной к поверхности VV Она разлагается на две составляющие: на составляющую s, касательную к т, которую можно вы-
личина постоянная, и поэтому как j
') Относительно материала § 107 см. ?30].
!) Герц Г., Принципы механики, М.. 1959; [76], § 100; Svnge J. L. Phil. Trans., А226 (1926), 31—106.
216
Гл. VI. Присоединенные массы
числить по формуле s = Q\q\ + Q2<72, используя выражение Т =
1 *
= ~2 2jx\' и на составляющую, нормальную к 7 в плоскости, касательной к поверхности У2, равную произведению геодезической кривизны на и2 = s2.
Аналогичные формулы справедливы во всяком римановом пространстве V. В частности, Q преобразуется как (контравари-антный) вектор, а ее нормальная составляющая равна произведению вектора геодезической кривизны на и2. Следовательно, задачи динамики инерциальных лагранжевых систем эквивалентны геометрическим задачам.
