Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
В случае плоско-параллельного обтекания некоторой плоской области 2 можно дать другую, совсем простую интерпретацию в терминах конформного отображения:
z' = az-\-c0-\—~ j (“ а > 0, (16)
переводящего внешность единичного круга на внешность области 2. Как уже отмечалось в § 8, имеется одно и только одно такое преобразование. Заметим, что если V есть функция тока, то дифференциал (VV-VV)dxdy кинетической энергии сохраняется при конформном отображении и скорость на бесконечности изменяется при этом в отношении 1 : а. С другой стороны, функция V из уравнения V + и^у = ф удовлетворяет краевому условию V — 0 на 2.
Непосредственная асимптотическая оценка, учитывающая эти данные ([86], стр. 204), показывает, что в случае течений, параллельных оси Х\, присоединенная масса А1ц тела 2 удовлетворяет уравнению2)
¦Мц/рН- площадь(И) = 2ад2[1 — Re(c1)]. (17)
Формулой (17) задача вычисления присоединенной массы сводится к задаче конформного отображения.
Другой интересный результат — это теорема Пойа о том, что из всех плоских областей, имеющих данную площадь, круглый диск обладает наименьшей усредненной присоединенной массой
*) Proc. Camb. Phil. Soc., 49 (1953), 342—354; см. также Light-
hi 1 1 М. Y., J. Fluid Mech., 1 (1956), 31—53 и 311—312.
2) В [7*] даны выражения для всех коэффициентов присоединенных
масс. — Прим. ред.
212
Гл. VI. Присоединенные массы
(усредненной по всевозможным ориентациям). Аналогичный результат для сфер в пространстве недавно получил Шиффер1).
Наконец, имеется замечательный результат, выявляющий связь понятия присоединенной массы с теорией струй, рассмотренной в гл. III. Как впервые доказал Рябушинский, в семействе границ, охватывающих один и тот же объем (или, в случае плоских течений, — одну и ту же площадь), экстремальное значение присоединенной массы дают свободные границы. Относительно вывода и применений этой теоремы мы отсылаем читателя к [17], стр. 85—89 и 177—184.
§ 107. Каноническая форма
Как уже пояснялось в § 101, тензор кажущейся массы тела 2 зависит от выбора осей координат, связанных с телом, и изменяется с изменением положения тела относительно некоторого заданного начального положения отсчета q = 0. Случай сферы весьма прост. Если оси проходят через центр сферы, то в обозначениях из § 100 справедливы равенства
Тп — Г22 — Т'зз = tn*, 7’44 = Т55 — — 2ina2l5,
а все Tij вне главной диагонали [г ф /] равны нулю.
Другой известный частный случай — это твердое тело в пустоте. Если за начало координат взять центр тяжести, то все
[/ Ф j и г, j = 1, 2, 3] обратятся в нуль, а Тп — Т22 = Т’зз = = т, где т — масса тела. Далее, приняв главные оси инерции в качестве декартовых осей координат, мы можем обратить в нуль все Tij(i Ф / и г, / = 4, 5, 6). Следовательно, тензор инерции определяется четырьмя скалярными величинами Тц, Т44, Г55, Тее, которые путем изменения единиц длины и времени можно свести к двум. Затем, Т^+Т^^-Т^ и т. д. при циклической замене индексов; случай эллипсоида является вполне общим.
В двух указанных случаях матрица ||7'г;!| приводится к диагональной форме с помощью надлежащего выбора осей координат. Представляет интерес выяснить, насколько можно упростить матрицу инерциальных коэффициентов Тц при помощи надлежащего выбора декартовой системы координат и центральной точки2) для общего случая жидкости с положительной плотностью. Это представляет собой простое упражнение по теории квадратичных форм.
') Polya G., Ргос. Nat. Acad. Sci., 33 (1947), 218—221; Schiffer М., Comptes Rendus, Paris, 244 (1957), 3118—3121.
2) Относительно центральной точки см. [34*]. По вопросу об упрощении матрицы инерциальных коэффициентов см. [25*]. — Прим. ред.
§ 107. Каноническая форма
213
На примере весла (§ 98) видно, что кажущаяся инерция может быть различной при поступательном движении в различных направлениях; гораздо легче создать ускорение, рассекая веслом воду, чем загребая. Однако так как всякая квадратичная форма эквивалентна1) относительно группы вращений диагональной форме, то мы всегда можем повернуть оси так, чтобы получить Т12 = Г2з = Т31 = 0, причем величины Тц, Т22, Тзз будут соответствовать «главный направлениям» поступательного движения.
За исключением случая вырождения (случай невесомой тонкой пластинки), когда одна из величин Та [i = 1, 2, 3] обращается в нуль, возможно дальнейшее упрощение надлежащим выбором начала координат в центральной точке. Пусть W\, w2, w3 обозначают вращения со скоростью один радиан в секунду относительно некоторой системы осей, параллельных главным направлениям поступательного движения; пусть X, Y, Z обозначают перемещения в главных направлениях при единичной скорости, и пусть w'v w’2> т»з обозначают вращения относительно осей, смещенных на вектор (х, у, г). Тогда
w\ — -)- yZ — zY,
w2 = w2-\-zX— xZ, (18)
w'3 — w3 -\-xY—yX.
Подстановка w[ вместо W\ не изменяет Гц —энергию взаимодействия между X и Шь поскольку энергия взаимодействия между X и У или Z равна нулю. С другой стороны, при этом величина Тis = Т51 увеличивается на гТц, величина Тi6 = 7ei— на хТ22, а величина T2i уменьшается на zT22 и т. д.
