Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
]) Nicholls H. W„ Trans. Inst. Nav. Arch., (1924), 141—163; L e-Wis F. M„ Trans. Nav. Arch. Mar. Eng., 37 (1929), I—18; Moullin E. B„ Proc. Camb. Phil. Soc., 24 (1928), 400—413 и 531—558; Brown A. D. и др., там же, 26 (1930), 258—262; Weinblum G„ Schiffbau, 32 (1931), 488—495; 509—511 и 525—529; Хаски нд М. Д., Язв. АН СССР (1946), 23—34 и Л ММ, 10 (1946), 475—480; Wen del К., Jahr. der Schlffsbau Ges„ 44 (1950)** 207—255.
2) Первая задача о присоединенной массе плавающего тела была решена
Н. Е. Жуковским [28*]. Современное состояние вопроса см. в работах [7*],
[17*], [26*—33*]. — Прим. ред.
§ 105. Присоединенная масса и количество овижения
209
Сейчас мы будем интерпретировать Thk как интегралы количества движения. Различные авторы отмечали1), что интегралы количества движения расходятся в обычном смысле. Поэтому при интерпретации величин с помощью количества движения нужно соблюдать осторожность. А теперь рассмотрим это подробнее.
Коэффициенты 7\а из формулы (8) представляют собой интегралы, взятые по границе 5 тела I, и в новых обозначениях их можно записать в виде
ражает дифференциал потока векторного поля К= (Кi(x), К2(х), /Сз(х)) через S. Так, в случае переносов, параллельных оси *1, К — (I, 0, 0); в случае поворотов вокруг оси xi получим К = (0, х3, —х2) и т. д. Посредством этого удобного обозначения определяется полезный класс интегралов Стильтьеса по поверхностям при условии, что интеграл f f\dSn j конечен. Заметим, что
всегда, когда К есть поле скоростей твердого тела, div К = 0. Это условие и еще то, что U есть гармоническая функция, регулярная на бесконечности ([4], стр. 217), — вот и все, что нам потребуется для дальнейших выводов.
Определим «К-линию» как интегральную кривую системы dxi/dt = Ki(x), или dx/dt = К(</*¦ = Kidt). Таким образом, если К соответствует поступательному движению параллельно оси xt, то К-линии суть прямые, параллельные этой оси; если К соответствует вннтовому движению относительно оси х\, то К-линии представляют собой винтовые линии вокруг этой оси и т. д. Теперь к векторному полю UК над областями /?, ограниченными поверхностями 5uS'u S", где 5" состоит из К-линий, мы применим теорему о дивергенции. Так как dSк=0 на поверхности S', состоящей из К-линий, и так как
то, пользуясь равенством div К = 0, мы получаем из формулы
(14) следующее соотношение:
Л
где U = Uh — гармоническая функция и dSK= 2 KtdSt вы*
div (б'К) = К, -г Udiv К.
S
*) [7], 119; Toll mien Н.. ZAMM. 18 (1938), 154.
210
Гл. VI. Присоединенные массы
Показанные здесь знаки перед двойным и тройным интегралами верны, если нормали направлены внутрь области R. В частности, если R — бесконечная область и поверхность S' отодвигается на бесконечность и если интеграл в области R сходится, то получим формулу
г>*=*///(*'ПН (,4*>
р
Теперь рассмотрим различные случаи, соответствующие частным значениям коэффициентов в выражении для присоединенной массы.
Если k — 1, то К = (1, 0, 0) = grad** = Vjcj в зависимости от обозначений. Пусть S" есть бесконечно длинный цилиндр, ось которого параллельна оси xt и который содержит тело 2. Тогда, поскольку интеграл от количества движения
=T}h = PffU*dx2 dxr= р f f f (-^) dR (15a)
S R
сходится на бесконечности, мы получаем следующий результат. Коэффициенты в выражении для присоединенной массы, соответствующие поступательному движению параллельно оси Х\, равны составляющей по Х\ количества движения жидкости внутри любого бесконечного цилиндра, соосного с хх и содержащего тело X при движении с единичной скоростью в направлении h. Область R проще всего брать в виде цилиндра, описанного вокруг тела X. Этот результат применительно к величине Тц получил Теодорсен [84].
Далее, если k = 4, то К= (0, хэ, —хг) = JC3Vдс2 — х2\х2. Пусть S" ограничивает любое твердое тело вращения, которое содержит тело 2 и для которого Ось Х\ есть ось симметрии. Тогда граница SwS" области R состоит из поверхности S и из К-ли-ний (кругов), так что формула (14*) сводится к виду
R R
(156)
где 0= arc tg хз/х2, Следовательно, Ты — момент количества движения относительно оси х\ жидкости, находящейся в области R.
С помощью циклической перестановки осей из (15а) и (156) можно легко получить остальные величины Тни- Случай винтового движения вокруг оси хи когда К = aVje, + ф{х2Ч х3— х^х2), легко получить суперпозицией двух предыдущих формул. Пусть поверхность S" — круговой цилиндр, описанный во-
§ 106. Другие интерпретации
211
круг тела 2. Тогда присоединенная масса равна количеству винтового движения жидкости, находящейся внутри поверхности
S", а именно р Я (a dUhldxx + $dUhldb)dR\ то же самое верно
для всех цилиндров, соосных с и содержащих тело 2.
§ 106. Другие интерпретации
Совсем недавно Ч. Дарвин ') дал новую и очень простую интерпретацию теоретической присоединенной массы твердого тела, введя представление о дрейфе, т. е. о смещении поперечной поверхности жидкости, вызываемом поступательным движением тела 2 из —оо в +оо вдоль данной оси. Он показал, что присоединенный объем |ц/р, определяемый как отношение величины присоединенной массы при поступательном движении к плотности жидкости, равен объему, заключенному между начальным и конечным положениями любой такой поверхности.
