Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
') По теореме о четырех вершинах, круг есть единственная «скобка», ограничивающая гладкую выпуклую область.
§ 48. Осесимметричные течения Гельмгольца
99
тока. В литературе не раз встречалось утверждение, что последнее условие («гладкого отрыва» —см. работу [17], гл. VI. § 6) представляет собой «физически разумную» замену условия Бриллюэна. Однако в силу условий (14) и особенно в силу того, что при обтекании по Кирхгофу плоской пластинки нарушается условие «гладкого отрыва», условие Бриллюэна кажется нам предпочтител ьным 1).
§ 48. Осесимметричные течения Гельмгольца
Впервые осесимметричные течения Гельмгольца были строго математически проанализированы в 1946 г., когда Левинсон3) дал строгое исследование асимптотических очертаний каверны. Предполагая, что для них удовлетворяется условие
y = x?g(x), где Иш =0, (27)
JT4 СО *
Левинсон доказал, что s = */г и что
С (In ;с)“<g(x)<C (In хГ,л+*
для некоторой постоянной С, при всех е > 0 и при достаточно больших х. Если условие (27) усилить до вида xg'(x)/g(x) = = 0(1/1п х), то можно получить соотношения
у~Сх'Ь( In jc)_i/* ^т. е. | Иш у * j = const j (28)
и лобовое сопротивление можно выразить по формуле
n "pCV и------—.
Однако Левинсон не доказал, что такие каверны существуют.
Первое доказательство существрвания конечных осесимметричных каверн было дано в 1952 г. Гарабедяном, Шиффером и Леви [24]. Пользуясь принципом Рябушинского о том, что свободные линии тока экстремизируют присоединенную массу относительно вариаций, оставляющих постоянным объем каверны, а также пользуясь новым результатом о том, что «симметризация» уменьшает присоединенную массу, эти авторы доказали существование осесимметричных течений Гельмгольца «типа
') См. также (2), § 5, где указанные вопросы впервые были рассмотрены с такой точки зрения.
*) Levinson N., Artnals of Math., 47 (1946), 704—730. (См. также [17*]. — Прим. ред.)
100
Гл. ///. Струи, следы и кавитация
Рябушинского» (рассмотренных в § 44) для профилей произвольного очертания (и для любого Q>0). Существование же течений Гельмгольца с бесконечными осесимметричными кавернами не доказано детально, хотя показано, что это достаточно правдоподобно.
Единственность бесконечной осесимметричной каверны была доказана для препятствий с данной точкой отрыва Гильбар-гом и Серрином. Доказательство основано на методе сравнения, впервые введенном М. А. Лаврентьевым •).
Замечательным в указанных доказательствах является то, что в них используются существенно новые идеи. Это оказалось необходимым, так как аппарат конформных отображений, традиционно используемый в случае плоских течений, здесь уже не пригоден.
Любопытно также, что хотя существование и единственность плоских течений со свободными границами были доказаны более чем через 50 лет, после того как были построены первые нетривиальные примеры таких течений, мы до сих пор не знаем ни одного представляющего интерес аналитического («точного») осесимметричного течения Гельмгольца2), и это несмотря на то, что мы располагаем теоремами существования и единственности.
Поэтому при анализе частных осесимметричных течений Гельмгольца приходится опираться на приближенные методы. Из применявшихся до сих пор методов наиболее остроумным является метод разложения по степеням числа подобия, разработанный Гарабедяном [25]3). В то время как предыдущие авторы получили для коэффициента сжатия струи, вытекающей из круглого отверстия в плоской пластинке, величину 0,61, вычисления Гарабедяна привели к результату 0,58.
§ 49. Законы сохранения
Математические доказательства результатов, сформулированных в § 48, крайне сложны. Полезные результаты относительно осесимметричных течений Гельмгольца часто можно получить гораздо проще, обращаясь к физическим законам сохранения, как это и будет сделано ниже.
') Gilbarg D., J. Rat. Mech. Anal., 1 (1952), 309—320 и SerrinJ. В., там же, 2 (1953), 563—575; см. также [17], гл. IV, § 12—14. Работу
М. А. Лаврентьева см. в Математическом сборнике, 46 (1938), 391—458.
s) По поводу анализа приближенных решений см. Birkhoff G., Symposium on Naval Hydrodynamics, August, 25—29, 1958 [32].
3) Критические замечания по этой работе см. РФЖ *Механика*, № 5, Б 309, 1963 г, —Прим, ред.
§ 49. Законы сохранения
101
Насадок Борда. Рассмотрим сосуд с вертикальными стенками, который заполнен жидкостью плотности р и в который вставлен насадок Борда с поперечным сечением произвольной формы и площади А (см. рис. 19); пусть давление на уровне насадка равно р. Мы предположим, что срыв течения ') с насадка происходит у его внутреннего края и что скорость струи, вытекающей из насадка, асимптотически приближается к постоянному значению v, которое представляет собой постоянную скорость на свободной линии тока, ограничивающей струю. Пусть А* — асимптотическое поперечное сечение струи; тогда, по определению, А*/А есть коэффициент сжатия. Мы подсчитаем его следующим образом.
Объем жидкости, вытекающий за единицу времени, равен vA*, его количество движения равно v2A*; «расход» кинетической энергии составляет 1j2pv3A*.
