Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
X (а) = ЛЬ (в) е~' <•> К(Ь) = Мч(а)е~охК (Л), (25)
где линейные операторы D и / определяют функции т(о) иЗ(о) через А.(о) по формулам (22а) — (23в). (Действительно, А =
= J \(a)do, тогда как DX является «преобразованием Дини» «/2
функции Цо) при соответствующем сингулярном интегральном ядре D(o, оО; см. работу [17], стр. 136.) Итак, нами доказана следующая теорема.
Теорема 2. Для того чтобы течение, описанное в теореме 1, соответствовало препятствию, имеющему кривизну х = К (8) постоянного знака, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение (25).
При малых значениях константы М интегральное уравне-ние (25) можно разрешить прямой итерацией функционального преобразования
К+1 (*)¦¦= 5 \к (0)1 = М* (в) е-°х»К(Лп). (26)
При больших значениях М сходится «усредненная итерация» относительно соответствующим образом выбранного «весового» множителя 6, т. е. можно итерировать по формуле
К+1 (®) = (!-•) К (о)1- (26')
§ 47. Неопределенность точки отрыва
97
Таким образом, используя современные быстродействующие вычислительные машины, можно эффективно разрешить интегральное уравнение (25), при заданном положительном значении М; подробности можно найти в литературе1).
§ 47. Неопределенность точки отрыва
Соответствие между интегральными уравнениями (25) и препятствиями Р не является взаимно однозначным из-за наличия параметра М. Поэтому возникает основной вопрос: в каком смысле (если о нем можно говорить) корректно поставлена задача Гельмгольца, рассмотренная в § 36? Этот трудный вопрос еще не разрешен полностью даже для плоских течений, имеющих ось симметрии.
Таким образом, как показал в 1911 г. А. Вилла [22], даже течение Кирхгофа, описанное в § 39, не является единственным решением задачи Гельмгольца для плоской пластинки в бесконечном потоке. Для конфигурации, изображенной на рис. 17, появляется однопараметрическое семейство других, топологически отличающихся возможных решений3) (см. (D),§ 1).
В случае круглых препятствий возникает еще более существенная неопределенность, даже если предположить, что топология течения обусловливает наличие единственной бесконечной каверны позади препятствия. Еще до того как удалось доказать строгие теоремы, М. Бриллюэн установил, что положение точки отрыва являгтся неопределенным. Этот факт тесно связан с неопределенностью постоянной М в соотношении (25): вообще говоря, константа М соответствует «смоченной длине», равной расстоянию от точки раздела С до точек отрыва
А и В, и возрастает с увеличением участков СА = СВ. Поэтому задача Гельмгольца для круглых препятствий не является корректно поставленной, даже если задаться топологией течения.
') Работа [17], гл. IX, § 8; BIrkhoff G., Goldstlne Н. Н, Za ran tone По Е. Н., Rend. Sem. Mat. Torino, 13 (1954), 205—223. (Первая конкретная задача об обтекании с отрывом струй криволинейного препятствия (дуга круга при прямом ударе) была решена А. И. Некрасовым (20*] методом последовательных приближений с доказательством сходимости и единственности. Затем появился еще ряд работ, продолжающих и обобщающих исследования А. И. Некрасова, см. [17*]. Метод Н. Е. Жуковского выл обобщен на случай струйного обтекания произвольного числа криво-линейных дуг Л. И. Седовым [7*]. Широкие теоремы существования и единственности для струйных течений были доказаны М. А. Лаврентьевым [21*1 — Прим. ред.)
*) См. работу [17], гл. V, § 3. Zarantonello Е. Н., 1. de Math., 33 (•854), 29—80, показал, что других возможностей не существует.
98
Гл. III. Струи, следы и кавитация
Однако если предположить, что выполняется условие Брил-люэна (§ 43), то задача бесконечной каверны становится корректно поставленной, по крайней мере в некоторых случаях. Следуя Лерэ [35], определим «скобку» как препятствие Р, кривизна которого и(6) возрастает1), как показано на рис. 18. Лерэ доказал, что всякая симметричная скобка Р имеет единственную пару «точек Бриллюэна» А0, В0, обладающих следующим свойством: кривизна свободных линий тока в точках отрыва Л, В при любом симметричном обтекании части Р равна + оо, конечна или равна —оо в зависимости от того, происходит ли от-
Р и с. 17. Обтекание плоской пла- Рис. 18. Обтекание «скобки» по Гельм-стинки, по Вилла. гольцу.
рыв перед точками А0, В0, в точках А0, В0 или позади точек А0, В0 соответственно. В первом случае ввиду бесконечной кривизны свободные линии тока должны проходить сквозь скобку, что невозможно. В третьем случае, очевидно, нарушается условие Бриллюэна. Следовательно, если мы определим задачу Гельмгольца — Бриллюэна, как задачу нахождения Эйлеровых течений, которые ограничены неподвижными препятствиями и свободными линиями тока, удовлетворяющими условию Бриллюэна, то получим следующее утверждение.
В случае бесконечной симметричной каверны позади скобки задача Гельмгольца — Бриллюэна поставлена корректно и отрыв происходит в точках Бриллюэна А0, В0. Интересно было бы точно определить класс симметричных препятствий, для которых задача Гельмгольца — Бриллюэна поставлена корректно.
Мы показали выше, что в случае скобок условие Бриллюэна эквивалентно условию конечности кривизны свободной линии
