Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
т dT 1 —Г2 ,1{Л
Т =-----:Г2~' так что-5Г =--------------2—1 О8)
Тогда комплексный потенциал, очевидно, задается так:
W=^-, ~ = МТ, М>0, (18')
где М — некоторая положительная постоянная. Это следует из того, что формула (18') позволяет отобразить область течения на плоскость с разрезом, причем точка разветвления t = i попадает в точку W => Г = 0, а точка на бесконечности / = 0 — в точку W =» Г = оо.
Теперь рассмотрим функцию (t — t)l{i + t) = (1 + it)/(I—it). Модуль ее равен единице, если t — действительное число;
ее аргумент на участке АС равен тс/2, на участке СВ равен
’) В i е b е г Ь а с h L., Lehrbuch der Funktionentheorie, Springer, Leipzig, 1923, т. 1, стр. 61. По поводу принципа отражения Шварца см. там же, стр. 225. [На русском языке см., например, Маркушевнч А. И., Теория аналитических функций, ГИТТЛ, М.—Л., 1950; или Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, М.—J1., 1951. — Прим. перее.]
04
Г л. III. Струи, следы и кавитация
— тс/2, в точке С имеется скачок аргумента —и. Новая функция й(/) = 0 + it, определенная формулами
С = (таг)*-,в(°’ Г1==(тТ7г)е'В(<>’ (19)
также аналитическая и регулярная функция внутри области Г. На свободной границе, где t — действительное число, имеем равенство |1 + it\ = |1—it\, и следовательно, можно записать соотношение
1 + «
1 = I С| =
1— it
e^)=^t). (19')
Поэтому функция i(t) обращается в нуль на диаметре полукруга Г, т. е. функция й(/) действительна, когда действительно t.
По принципу симметрии Шварца (см. прим. 1) на стр. 93) функцию й(/) можно аналитически продолжить на внутренность единичного круга |/| < 1. Поэтому в рассматриваемом нами симметричном случае (? и iS2(t) действительные на мнимой оси t, являющейся осью симметрии) мы можем написать равенствб
2 (t) = axt -f- а3*3 -f- ast° (20)
где все a< действительные числа, причем радиус сходимости ряда (20) не меньше единицы. Для неподвижной границы |/| = 1 с помощью довольно тонких рассуждений можно доказать, что функция Q(t) даже непрерывна ([17], гл. VI, стр. 135). Не строго выражаясь, множитель (1 — it)К1 + it) «снимает» простой полюс для функции ?-1 (нуль для функции () в критической точке.
Обратно, для данной функции (20) с радиусом сходимости, равным единице или больше единицы, уравнения (19) и
* = /Г‘ (4г)(4г)Л“-Т /Г'Ь-П* (2D
определяют течение, разделяющееся на две симметричные части
позади гладкого препятствия АСВ, имеющего непрерывную касательную. Это приводит к классическому результату Леви-Чи-вита.
Теорема 1. Течениям, разделяемым на две симметричные части симметричным препятствием в бесконечном потоке, однозначно соответствуют различные функции вида (20), регулярные при |*| < 1 и непрерывные при |/| = 1, и постоянные М. Это соответствие задается уравнениями (19), (20) и (21).
§ 46. Прямая задача
95
§ 46. Прямая задача
Теорема 1 позволяет решить обратную задачу—найти класс всех плоских течений бесконечного потока, разделенного на симметричные части криволинейным препятствием. Теперь мы обратимся к прямой задаче: найти, какова функция Я(/) для данного двумерного препятствия Р, симметрично расположенного в бесконечном потоке. Мы покажем, что эта задача эквивалентна решению нелинейного интегрального уравнения.
В принципе можно очень просто выразить все свойства течения с помощью функции Q(<). Так, вдоль неподвижной границы Р (t — eic в плоскости t) для й = 0 + «Ч запишем равенства
0 = aj cos оа3 cos Зо-f a5cos 5о+ ... , (22а)
-с == a, sin о a3 sin Зо -f- а5 sin 5о ... . (226)
Нам будет удобно рассматривать также производную
X(a) = — rf0/rfa='alsino + 3a3sin3o-l-a5sin5o+ .... (22в)
предполагая в соответствии с гипотезой (Е) из § 1, что выписанные ряды Фурье удовлетворительно сходятся в случае достаточно «гладких» препятствий.
Мы покажем теперь, что 0 отличается на величину-^ от направления <р касательной к препятствию. Так как arg dz/dT = = arg?-1 + arg dW/dT и argdz/dT = <p (исключая критическую
точку С), то очевидно, что arg?_1 равен <р — it на участке АС и равен ф на участке СВ. С другой стороны, в силу формулы (19) и сделанных перед этим замечаний относительно величины arglO + *0/0 — *01 значение^arg^-1 равно 0 — тг/2 на участке
АС и равно 6 + тс/2 на участке СВ. Оба эти соотношения показывают, что вдоль участка АС В 0 = <р — тг/2.
Длину дуги препятствия / можно найти при помощи соотношения (21), из которого следует равенство
dl*= |С~’ | • |dWjdT\• | dTldt \ • da на t = e,‘’.
Применяя формулу (19') и элементарную тригонометрию, получаем соотношение
11 1+«| 'е 1 I cos* г •
Аналогично, так как dW/dt = (t—t~3), как и в формуле (21), находим соотношение
dW
ил
se
Гл. III. Струи, следы и кавитация
Сравнивая предыдущие формулы, окончательно получаем следующий результат:
dl = Mv(a)e~‘t(’) da, v (в) = | sin о (1 -(- sin о) |. (23)
Поэтому для кривизны, определяемой равенством х — —d<p/dl = = —rffl/rf/, получаем формулу
X
_ Л (о)
~~ Мч(а) '
(24)
что можно сравнить с формулами (22в), (23).
Пусть теперь Р —любое гладкое симметричной формы препятствие, имеющее кривизну постоянного знака (т. е. без точек перегиба), и пусть х = К(0) выражает кривизну как функцию угла 6 = ф — тс/2, на который касательная поворачивается за точкой С. Тогда, преобразуя формулу (24), получим выражение
