Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
В случае скоростных торпед члены, содержащие g и т в формуле (13), относительно малы. Следовательно, если р'<р, то в первом приближении получим равенство/(Х)=(Л|и' —«|/2)Ур7р-Это приводит к выводу, что расстояние \и'— u\t от точки отрыва до зоны перемешивания, где модель Гельмгольца теряет силу при данной длине волны X, будет пропорционально Ур/р'-Для каверн, заполненных воздухом, р/р'=^ 750, а для каверн, заполненных паром, р/р' ^ 30 ООО; следовательно, в обоих случаях, согласно анализу Кельвина, надо ожидать, что неустойчивость свободных линий будет невелика.
Этим теоретически объясняется эмпирическое утверждение Бетца и Петерсона2), что теория струй применима, если р7р<1. Эти авторы основывались на работе Аккерета и на более ранних работах Мизеса, проверявшего теоретические расчеты для струй воды в воздухе. Например, хотя влияние стенок, описанное в § 40, не сказывается в реальных следах, для которых оно первоначально было рассчитано3), оно весьма существенно при наличии реальных каверн.
Практическое применение теории струй зависит также от второго параметра, который совпадал бы с выражением (15а), если бы условия (14) были точными. Если предположить, что условия (14) и уравнение Бернулли выполняются для теоретического двухфазного течения Гельмгольца, то выражение (15а) принимает вид Qe - (vflva)3— 1, где О/ — скорость на свободной линии тока, а о„ — скорость во внешней
¦) См. [Я, п. 73—80 и гл. XII первого издания [8]. Контраст с данными книги [2], гл. II, поразителен; см. также Proc. Seventh Int. Congress Appl. Mech., London, 1948, т. 2, стр. 7—16.
*) Ingenieur Archio, 2 (1931), 190—211. Относительно данных Мизеса, подтверждающих формулы, выведенные в § 40, см. Zeits. VDI, 61 (1917), 447—452, 467-473 и 493—497.
*) Volcovici V., Inaugural dissertation, Goettingen, 1913. Относительно приложений к кавитации см. Bi rkhof f G., PIessetM. and SimmonsN., Quar. Appl. Math., 8 (1950), J51—J68 я 9 (1962), 413-421,
§ 43. Параметры p'/p u Q
89
области («скорость свободного потока»). Поэтому теоретический параметр кавитации для течения Гельмгольца мы определим выражением
Ясно, что для идеальной жидкости из условий (14) следует Q > 0. Для каверн, заполненных воздухом, эмпирический коэффициент падения давления также всегда положителен и определяется формулой
где ре — давление в каверне. Наконец, эмпирически найдено, что падение давления в следе (р„ — р„), упомянутое в § 41 и выраженное в безразмерной форме через коэффициент падения давления в следе
заключено между нулем и единицей. Таким образом, за плоской пластинкой значения Qw близки к единице.
Принимая величину Qw в качестве эмпирического параметра, теорию струй можно плодотворно применить даже к следам. Так, если ввести поправочный числовой множитель (1 + Qw), для того чтобы учесть наблюдаемое падение давления в следе за наклонной плоской пластинкой, то формулы теории Кирхгофа хорошо согласуются с получаемыми на практике функциями распределения давлений на передней поверхности ([i7], стр. 28, рис. 3) —по крайней мере если а > 15°, т. е. больше критического угла.
Условие Q > 0, очевидно, легко отождествить в случае невязкой жидкости со следующим чисто кинематическим условием, введенным в 1911 г. М. Бриллюэном [19] в связи с исследованием следов 1).
Условие Бриллюэна. Скорость принимает максимальное значение на свободной линии тока.
Хотя во всех известных нам практических приложениях выполнено условие Q > 0, было бы неправильным предполагать, что условие (14) строго выполняется при любых обстоятельствах. (См. работу [17], гл. XV.)
(156)
(15в)
(15г)
’) Что условие Брнллюзна выводится из формул (14), указано в работа [2), стр. 51; см. также § 45.
90
tл. ///. Струи, следы и кавитация
§ 44. Модели течений при Цф 0
В случае обтекания пластинки в канале, формула (12а). можно считать Q положительной величиной, вводя в рассмотрение скорость вверх по течению (равную единице, что достигается выбором единиц измерения) в качестве скорости свободного потока. При таком условии Q => tr2 — I > 0 и 1 + Q = ir*. Таким образом, предположение о том, что при определении коэффициента Со нужно использовать скорость на свободной линии
Рис. 15. а—течение Рявушинского; б—возвратная струя.
тока, v г* щ эквивалентно введению в предыдущем параграфе множителя (1 -f Qw).
Однако построить течения Гельмгольца с условием Q ф 0 в бесконечном потоке гораздо труднее. Кроме того, реальные ка* верны имеют конечные размеры, а построить течения Гельмгольца с конечными кавернами особенно трудно из-за следующего парадокса.
Парадокс Бриллюэна. Каверны конечного размера, удовлетворяющие условию Бриллюэна, математически невозможны.
Ниже мы кратко рассмотрим доказательство (см. [19])» Поскольку давление внутри каверны минимально (условие Бриллюэна), свободные линии тока обращены своей вогнутостью в сторону каверны, которая должна быть поэтому выпуклой. Но такая каверна должна иметь критическую точку, в которой схо-
Раэдепяющаяся
линия тока
След
Разделяющаяся
линия тока
а
Свободная пиния тока Точка торможения
