Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Эти факты были хорошо известны Кельвину1), который получил более важный результат: он показал, как можно количественно исследовать устойчивость прямолинейных линий тока в плоскопараллельном течении.
Очень большой интерес представляет случай горизонтальной границы в вертикальном поле силы тяжести. Граница разделяет две жидкости с плотностями р и р', которые движутся соответственно со скоростями и и и', как указано на рис. 14. Кельвин показал, что в этих условиях синусоидальное возмуще-
') Nature, 50 (1894), стр. 524, 549, 573; см. также Рэлей [38], т. в, стр. 39
86
Гл. ///. Струи, следы и кавитация
ние граничной поверхности с длиной волны к = 2к/к должно возрастать по экспоненциальному закону exp{/(X)f}, где
¦ (13)
причем т есть натяжение на граничной поверхности, a g — ускорение силы тяжести. Его доказательство приведено в работе [7], п. 266—267.
В случае следов, когда р = р' и 1 = 0, очевидно, мы имеем l(X) = k\и’ — ы|/2 > 0. Граничная поверхность в высшей степени неустойчива, скорость нарастания возмущений с очень короткой длиной волны не ограничена. Так, например, на расстоянии в п длин волны, |и'— u\t = пХ = 2гсл/Л, скорость нарастания определяется множителем е2яп в относительном движении1).
и-----
Рис. 14. Неустойчивость по Гельмгольцу и Кельвину.
Волны, вызываемые ветром. Кельвину мы обязаны классическим применением его формулы (13) для расчета минимальной скорости ветра, требующейся для возникновения ряби на поверхности спокойной воды. Вероятно, каждому доводилось наблюдать, что при достаточно легком бризе поверхность прудов остается зеркально гладкой. Теоретически можно показать, что для равномерно дующего ветра при обычном отношении плотности воздуха к плотности воды, равном р'/р = 0,00126, из формулы (13) следует, что возмущения всех длин волн будут безразлично устойчивы тогда и только тогда, когда |и' — и\ <
< 646 см/сек. В действительности волны возникают при ветрах со средней скоростью, меньшей чем Vs этой величины; простое и убедительное объяснение этого парадокса еще предстоит найти2).
§ 42. Кавитация
Когда твердое тело движется в жидкости с большой скоростью, его след обычно заполняется газом. Такой заполненный
1) Многие струйные течения при. р' =¦ 0 обладают «нейтральной устойчивостью», см. Fox J. L., Morgan G. W„ Quart. Appl. Math.. 11, 4, 1954.— Прим. ред.
г) Ursel I F. недавно дал обзор этой задачи в работе 120], стр. 216— 249; резюме некоторых экспериментальных данных см. там же на стр. 240.
§ 42. Кавитация
87
газом след называют каверной, и решения задачи Гельмгольца описывают обтекание каверны гораздо лучше, чем они описывают самый след.
Естественным образом каверны возникают при различных условиях. Так, можно сфотографировать [38] заполненные воздухом каверны позади сфер, падающих в воду с высоты двух метров я больше. Заполненные паром каверны образуются позади подводных снарядов, скорость которых превышает, скажем, 30 м/сек. Подобные каверны также обычно образуются на лопастях судовых винтов при давлении на поверхности винта, превышающем примерно 1,5 кг/см2, и в таких случаях опасаются разрушения маленьких пузырьков, сопутствующих «возникновению кавитации» как причины эрозии винта. Подобная эрозия (и по той же причине) может происходить при перегрузке гидротурбин. Парадоксально, что «суперкавитациоиные» винты, работающие при гораздо ббльших давлениях и притом в больших кавернах, можно сконструировать так, чтобы избежать этой эрозии.
Впервые практическое значение кавитацин было отмечено примерно в 1900 г. Математический анализ этих явлений основан иа правдоподобном предположении, что заполненные паром каверны образуются благодаря испарению, как только давление в жидкости падает ниже вполне определенного значения — «давление испарения» pv. Математически это эквивалентно условию
P=Pv в каверне; />>/>„ в жидкости. (14)
(В кавернах, заполненных воздухом, конечно, возможно р>р„.)
Руководствуясь этой идеей, Тома ввел') в 1924 г. широко применяемый в настоящее время параметр кавитации (кавитационное число)
(15а)
где ра — давление во внешней области. Вскоре после этого Аккерет и другие авторы2) показали, что теория течений Гельмгольца применима к кавернам больших масштабов позади твердых препятствий. Но в первую очередь развитию теории кавитации, какой она является в настоящее время, способствовали работы по применению подводных снарядов во время второй мировой войны.
') Thошa D., Trans. First World Power Conf. (1924), т. 2, 536—551; См. также Taylor Н. В.. Moody L. F.. Mech. Engineering. 44 (1922) 633-640; cm. § 72.
*) Ackeret J., Tech. Mech. und Thermodynamik, 1 (1930), 1—21 и 63—72. В 1932 r. W e i n i g впервые применил модель Рябушянского из § 7 к кавитационным течениям.
88
Гл. III. Струи, следы и кавитация
§ 43. Параметры р'/р и Q
Определенные выше эмпирическим путем параметры р'/р и Qv время от времени упоминались в инженерной литературе, но в учебниках теоретической гидродинамики1) отсутствовали вплоть до 1945 г. В настоящее время эти параметры дают ключ ко многому при исследовании течений Гельмгольца. Например, при помощи параметра р'/р можно объяснить, почему стационарные кавитационные течения и струи жидкостей в воздухе (т. е. двухфазные течения) описываются по Гельмгольцу гораздо лучше, чем следы или, скажем, газовые струи.
