Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
НИ’
¦ t p ¦ 1 f f
A ft \1
й bftm+f) Рис. 39
1111
1 с — -I—
п— ш—
Рис. 40
При одноосном растяжении пластинки с круговым отверстием граница пластической зоны приведена на рис. 40 (15].
Эллиптическое отверстие. Для тонкой пластиики, ослабленной эллиптическим отверстием, уравнение которого задается в виде
3 ad?
г = a -f- eadt cos 20 — e2 - (1 — cos 40) + • • •,
356
Концентрация напряжения около отверстий
получено [13], в предположении, что контур отверстия свободен от внешних усилий, а на бесконечности пластинка растягивается усилиями Л* и В* под углом 0О к главным осям эллипса,
rs = 1 + е* [4d2 cos (0 — 0О) + 3ad] cos 20] +
+ е*2 jdj ^-------8а1) — (Ш^а cos 20о + 84) +
+ [~dl ( ----8а3 — 4^Г ) + (18dld2a cos 20о + \Sd\ cos 40о) ] X
X cos 40 -J- [lerf^a sin 20o -f- I6d% sin 40o] sin 40 j -|- - • •, (28)
где A*2 и В* имеют вид
2 + 2 2 ’ 2 2 ’
* A — В R
где d1, d2 — некоторые параметры; e* = ——^— ; a = —;
rs
r® — размерный радиус пластической зоны при е* = 0.
Квадратное отверстие. В работе [36] полуобрат-ным способом с использованием численных методов определена граница пластической зоны в пластинке (случай плоской деформации), ослабленной квадратным отверстием с закругленными углами (рис. 41). Предполагается, что на контуре квадратного отверстия оп — т„( = 0, а на бесконечности пластинка сжимается усилиями о" =о“. Граница пластической зоны показана на рис. 41.
НЕЛИНЕЙНЫЕ (УПРУГИЕ) ЗАДАЧИ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
Влияние физической нелинейности на концентрацию напряжений возле отверстий. Цветные металлы, их сплавы и полимерные материалы даже при малых деформациях, при которых справедливы основные соотношения классической теории упругости, точно не следуют закону Гука, а слегка отклоняются от него, поэтому необходимо учитывать нелинейную зависимость деформаций от напряжений. Нелинейность такого характера называют физической.
Нелинейные (упругие) задачи концентрации напряжений 357
Приближенный метод решения задач концентрации напряжений около криволинейных отверстий в пластинках с учетом физической нелинейности изложен в работе [11]. Наиболее характерные примеры влияния нагрузки, упругих свойств материала и кривизны контура на коэффициенты концентрации напряжений приведены ниже.
Круговое отверстие. Распределение напряжений около кругового отверстия в пластинке при всестороннем растяжении уси-
лиями р в первом приближении с учетом физической нелинейности материала (рис. 42) определяют по формулам [42]
2 \ г2 г* г6 )\’
«.-«г+ч,'“<’[(1+^)+ (М|
Для рассматриваемой задачи коэффициент концентрации по линейной теории достигает своего наибольшего значения на краю отверстия
в точке 0 = ~ и равен двум. С учетом же физической нелинейности
материала в этой точке
к=(—) =2(1 —1,5 Ьр2), (30)
\ р /г=а
где а — радиус отверстия; X — малый параметр, характеризующий физическую нелинейность материала.
Графики зависимости коэффициента концентрации напряжений k от внешней нагрузки и упругих свойств материала приведены на рис. 43.
358
Концентрация напряжения около отверстий
Кривая / построена для меди [X = (0,98)-1 • 10'1Ь мЧн2], кривая // — для чистой меди (Я = 0,255-(0,98)"2• 10'16 м*/н2], кривая III—для сплава алюминий—бронза [X = 0,053-{0,98)2-10_1в а4/«21, кри-
вая IV— для мартеновской стали [Я. = 0,32-(0,98)2- 10~1в м /к4].
Эллиптическое отверстие. В случае всестороннего равномерного растяжения усилиями р бесконечной физически нелинейной пластинки с эллиптическим отверстием коэффициент
концентрации напряжений, найденный с точностью до 2-го приближения, с учетом физической р нелинейности по контуру отвер-
' стия будет
*=(¦5-) =2 X
\ р /р=1
X (1 — 1,500Х,р2 + 10,605Х?р* + + 2е cos 20 -|- 2е2 cos 40 — Рис. 44 — 10,660Яер3 cos 20), (31)
а— 6 . о
где е = а ^ ;аи Ь — полуоси эллипса; р, 0 — ортогональная криво-
линейная система координат. В табл. 4 приведены значения k по формуле (31), подсчитанные для двух точек А и В (рис. 44) контура отверстия. Значения коэффициента концентрации k в точке А (0 = 0°)
4. Значений коэффициентов онцентрацни напряжений для меди
р а 1Г
1,00 1,10 1,30 1,60 1,60
Лннейиая теория *. = 0 - 2 2 2,198 1,818 2,587 1.546 2,960 1.360 3,136 1,289
В линейной теории коэффициент концентрации ие зависит от р
Нелиней- ная теория 60 2,084 1,920 2,084 1,775 2,412 1,565 2,730 1,431 2,709 1.557
70 1.904 1.904 2,055 1,772 2,361 1,584 2.660 1.469 2.568 1.667
80 1.895 1.895 2,301 1.777 2,310 1,616 2,587 1,522 2,414 1.802
90 1,868 1.868 2.014 1,797 2,264 1,662 2,517 1,593 2.250 1.966
Нелинейные (упругие) задачи концентрации напряжений 359
поставлены в числителе, а в точке В / 0 = ~2~)—в знаменателе;
материал—медь [Я, = (0,98)_1-10~15 ж4/к* 1.
Квадратное отверстие. Рассмотрим случаи всестороннего растяжения бесконечной физически нелинейной пластинки, ослабленной квадратным отверстием. Отображающая функция внешности квадратного отверстия иа внешность круга единичного радиуса имеет вид
(32)
Коэффициент концентрации напряжений по контуру рассматриваемого отверстия (43]
