Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ромбическая сетка. В том случае, когда пластинка ослаблена ромбической сеткой круговых отверстий, изменения коэффициента концентрации
и_____ 01, 3, 5 _ 4, 6
„о — „о ау °х
в зависимости от параметра приведены иа рис. 24.
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ОТВЕРСТИЙ С УЧЕТОМ МОМЕНТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В основе моментной теории упругости лежит идеально упругая (изотропная или анизотропная) модель сплошной среды, взаимодействие между элементами которой осуществляется при помощи центральных
сил (напряжений) и внутренних моментов (моментных напряжений).
При этом тензоры напряжений и моментных напряжений являются несимметричными.
Исследования по несимметричной теории упругости в основном ведутся в двух направлениях (вариантах):
1) деформация среды полностью описывается вектором перемеще-
нии и, считая вектор вращения заданным (ot = rot и;
2) деформация среды описывается двумя векторами: вектором пере-
мещений и н кинематически независимым от и вектором вращения (02.
Механическое поведение новой изотропной модели характеризуют упругие константы: Е, I, rjt (первый вариант) и Е, v, I, г), г)2, i]3 (второй вариант), где Е — модуль упругости; v — коэффициент Пуассона; I и щ (i = 1,2,3) — новые постоянные материала (I имеет размерность длины; гц — безразмерные величины типа коэффициента Пуассона).
Возможные методы постановки эксперимента по определению констант / и г] обсуждаются, например, в работах [17, 30, 41 ].
Моментиая теория упругости дает наиболее ощутимые поправки к решениям классической теории упругости для тех классов задач, в которых искомое напряженное состояние имеет наибольший градиент.
К этому классу относят, например, задачи о концентрации напряжений около отверстий.
Концентрация напряжений
341
Круговое отверстие. При одноосном растяжении усилиями р плоскости со свободным от напряжений круговым отверстием радиуса R нормальное (тангенциальное) напряжение а6 по контуру отверстия вычисляют по формуле
где
8 (1 — v)
4+Т + 2'Т~ Кг
Ш.
(4)
Значение отношения -у- = 3 соответствует наибольшему возможному отклонению напряжения о6 от одноименного в классической теории упругости [23].
зт
При 0 = ± ~2~", —j~ = 3 и 0^rvsc:0,5 коэффициент концентрации находится в пределах 2,4 ^-^-=5; 2,6, т. е. на 12—20% меньше (в зависимости от коэффициента Пуассона v) значения = 3, даваемого
классической теорией упругости.
В случае жесткого кругового включения формулы для радиального с, и тангенциального а0 напряжений на контуре отверстия имеют вид [40]:
при простом растяжении усилиями р
(. 2 cos 20 \
o6 = Pv^l + j;
„ ч /1 , 2 cos 20 \
ar = p(l-v)(l + 3-_-4--_-7rj; (11)
при чистом сдвиге усилиями s
4 sin 20 ч 4 sin 20 /im
= Tt’ g^ = s<i-v>3-4v--^> (I2)
где
4 (1 — v)______
F, = -
*+.*. K"(')
' K,(4)
Ku ^ —j- ^ —модифицированные функции Бесселя II рода.
Так как lim F. = lim F2 = 0, то нз соотношений (10)—(12) К R
получаем формулы для напряжений в классической теории упругости.
42 Концентрация напряжения около отверстий
При простом растяжении среды с жестким включением коэффициент
;онцентрации 0) выше одноименного классического иа 10—50%
; зависимости от v.
Напряженное и деформированное состояние в среде с упругим вклю-ением [6] зависит от жесткостей включения [ij и среды |х2, коэффициен-
ов Пуассона vlt v2 и отношений
R_ h ’
R_
m ii
, v2 = -i-, то изменение величины коэффициента концентра-„(2)
в / я \ R
напряжений ——— I R, ± -тр ) в зависимости от и Я2 =
~г~ при простом растяжении показано на рис. 25.
*2
Аналогично построены графики на рис. 26 для коэффициента кон-
при-а = 2; P \ 2 / (х2
.ентрации напряжении включения 1 1 1 4 ’ Va 3 '
Криволинейные отверстия. Приближенный метод ешения плоских задач моментной теории упругости для областей, славленных криволинейным отверстием, изложен в работах [25, 30].
Распределение тангенциальных напряжений ав вдоль четверти конура эллиптического отверстия показано на рис. 27 для случая равно-[ерного всестороннего растяжения (где а?ом — но моментной теории; ijл — по классической теории).
Влияние подкрепляющих колгц
343
Как и в классической теории упругости, концентрация напряжений носит локальный характер (рис. 28).
Численные данные для графиков (рис. 26 и 27) получены для -у = 3, v = 0,25 и =1,5 (а, b — полуоси эллипса).
[
т (бет) I/ /в-е
7бнр°н\ . Р Jc.f /?Я [р /е-Ц
Рис. 27
2 J
Рис. 28
В работе [32] предложен приближенный метод решения плоских задач для бесконечной области, ослабленной конечным числом произвольно расположенных отверстий, контуры которых являются гладкими кривыми.
ВЛИЯНИЕ ПОДКРЕПЛЯЮЩИХ КОЛЕЦ
Тонкостенные конструкции, состоящие из тонких пластинок, подкрепленных упругими элементами в виде ребер жесткости, находят в последнее время самое широкое применение [29, 35].
Довольно часто упругие элементы используют для подкрепления отверстий в пластинчатых конструкциях для уменьшения концентрации напряжений вблизи отверстий.
Для тонких подкрепляющих колец или колец, имеющих в поперечном сечении фасонный профиль, был принят в качестве расчетного подкрепляющего кольца криволинейный тонкий упругий стержень постоянного или переменного сечения, упругое поведение которого описывается теорией малых деформаций тонких криволинейных стержней.
