Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Знаки суммирования в формулах (44) следует заменить интегралами, а также учесть, что а,- и /,• зависят от текущего радиуса г в соответствии с формулами (41) и (42).
Таким образом, получим
Ла~?- ______________________________
N
и
PR
9
arcsin -
Г dv
N J
cos p sin2 p Rs pR
[/ 1 ~-yr sin* P
(45)
Верхний предел интегралов в выражении (45) принят разным г
arcsin — потому, что через точку на радиусе г проходят только нити, R
имевшие иа экваторе углы меньше этого.
Задача заключается в том, чтобы определить функцию распределения dv
слоев по углам / (Р) так, чтобы оба интегральных уравнения (45)
восполнялись тождественно.
На первый взгляд эта задача выглядит чрезвычайно сложно, однако она имеет элементарное решение.
240 Пластинки и оболочки из стеклопластиков
Произведем в интегралах замену переменных R
тогда получим
¦ sin Р = sin а.
л
2
Л/ f dV 2 « pR
N J ^pC0S arfa = "2-;
0
N J sin2 a da =
pK
2
(46)
(47)
Легко видеть, что оба этих уравнения выполняются, если принять
dv 2pR ,
= const.
dp яЛ/
Следовательно, при оптимальной конструкции сферической оболочки, нагруженной давлением, на экваторе слои равномерно распределены по углам.
Подсчитаем расход нитей на изготовление такой оболочки. Слои
с углами от Р до Р + dP (dn слоев) содержат — 2nR cos Р или ‘MR cos Pdv
‘о
иитей. Каждая нить имеет длину половины большого круга. Отсюда
полная длина нитей, составляющих углы от р до р -f- dp, будет
dL = 2n2R2 cos Р dv.
Длина нитей всей оболочки может быть получена интегрированием
п 2
L = 2я2/?2 | cos Р dp =
о
4я Rsp 3pV
N
N
где V — объем оболочки.
При практическом изготовлении сферических оболочек методом намотки обычно заменяют непрерывное распределение углов намотки дискретным, наматывая несколько шаровых поясов с различными углами Р — это так называемая зонная намотка.
Рассмотрим коническую оболочку, нагруженную внутренним давлением (рис. 15).
За базовую примем окружность основания радиуса R.
Литература
241
Интенсивности усилий в произвольной точке оболочки (иа радиусе г) определяются безмоментной теорией
Г, =¦
рг
2 cos в
Р'
cos 0
Рассуждая точно так же, как и в предыдущем случае, придем к уравнениям
л
2
dv
N
dp
cos2 a da =
.. f dv
da ¦
pr . 2cos0 ’
pr
cos 0 ’
(48)
которые отличаются от уравнений (47) только правыми частями. Так
dv
как правые части уравнений (48) пропорциональны переменной г,
также должно быть пропорционально г (после замены Р на а). Учитывая соотношение (46), принимаем
dv „ . д
-rfp =«8ШР =
; К -д sin а,
(49)
где К — коэффициент пропорциональности.
Подставляя выражение (49) в уравнения (48), обнаруживаем, что
ь- 3 pR
последние удовлетворяются тождественно при А = ‘-гг-—к
/ /V COS V
Из
равенства следует, что для конической оболочки, в отличие от сферической количество слоев, навиваемых в каждом направлении, не одинаково, а изменяется пропорционально синусу угла, составляемого слоем с меридианом (на базовой окружности).
ЛИТЕРАТУРА
1. Б и де р м а н В. J1. Упругость и прочность анизотропных стеклопластиков, Сб. «Расчеты на прочность». Вып. И. М., «Машиностроение», 1965.
2. Б о л о т н н В. В. Плоская задача теории упругости для деталей из армированных материалов. Сб. «Расчеты на прочность». Вып. 12. М.* «Машиностроение», 1966.
3. Б о л о т и и В. В. Теория армированной слоистой среды со случайными неправильностями. «Механика полимеров», 1966, № 1.
4. В а н Ф о Ф ы Г. А. Об уравнениях связи между напряжениями и деформациями в стеклопластиках. «Прикладная механика». Т I. 1965, Ne 2.
5. Гольденблат И. И., Копнов В. А. Прочность стеклопластиков при сложном напряженном состоянии. «Механика полимеров», 1965, № 2.
6. Королев В. И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М., «Машиностроение». 1965.
7. Кузнецов Э. Н. Некоторые вопросы статики сетей. «Строительная механика и расчет сооружений», 1966, № 2
8. Лапин А. А. Плоская деформация рези но кордовой ткани. Сб. «Расчеты на прочность в машиностроении». МВТУ 46. М., Машгнз, 1955.
2
Пластинки и оболочки из стеклопластиков
9. Пономарев С. Д и др. Расчеты на прочность в машиностроении.
11, гл. VII «Расчеты реаиновых и резинокордных деталей». М., Маш-
з, 1958.
10. Протасов В. Д., Копнов В А. Исследование прочности стек-пластиков при плоском напряженном состоянии. «Механика полимеров», 65, № 5.
11. Рабинович А. Л., Верховский И А. Об упругих постоян-IX ориентированных стеклопластиков. «Инженерный журнал». Т. 4, 1964, № 1.
12. Р и в л и н Р., П н п к и и А. Проектирование сосудов высокого вления минимального веса, усиленных нерастяженными нитями. Приклад-я механика. Пер. с англ. Труды Американского общества и н же не ров-меха-ков. Сер. Е, № 1, 1963.
13. Тарнопольский Ю. М., Скудра А. М. Конструкционная очиость и деформативиость стеклопластиков. Рига» «Зинатие», 1966.
14. Marketos I. D. Optimum toroidal pressure vessel filament wound ind geodesis lines, A1AA Journal, 1963, v. 1, N 8.
15. Read W- S. Equilibrium shapes for pressurized fiberglas domes, of Engeneering for Industry, 1963, v. 1, N 8.
