Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Вслед за определением а можно по формулам (35) и (38) найти усилия в нитях. Эти усилия, вообще говоря, изменяются вдоль мери-циана оболочки.
Укладка нитей с переменными, в соответствии с расчетом, углами представляет значительные трудности, так как нити, наматываемые с натяжением, соскальзывают, стремясь расположиться по геодезическим пиниям поверхности.
Поэтому особый интерес представляют оболочки с нитями, уложеи-яьши по геодезическим линиям. Особенностью таких оболочек является также постоянство усилия по длине нити.
Уравнение геодезической линии на поверхности вращения имеет, <ак известно, вид
'де С — постоянная.
Из этого уравнения видно, что оболочки с нитями по геодезическим 1иниям являются незамкнутыми, за исключением случая С = О, «эгда а = 0 и нити расположены по меридианам. Если оболочка имеет >тверстие или патрубок радиуса г", к которому нити подходят плавно ю касательной, то С = г".
Выражение (39) с учетом уравнения (40) и с заменой
юторое легко интегрируется и позволяет определить cos 0 в функции •адиуса г:
де М — постоянная интегрирования.
Если при r = R оболочка плавно сопрягается с цилиндром (0 = 0), то
sin а — Сг *,
(40)
1 rf0 . „ d
— =------------г— sin 0 = -г- (COS0)
р dr dr '
приводит к уравнению 2 г
cos0 = М
V1 - с*г-г ’
После определения 0 можно с помощью квадратуры найти коорди-аты образующей оболочки, так как
Оболочки вращения, полученные непрерывной намоткой 237
Рассчитанные таким способом конфигурации равновесных куполов приведены в работе [15].
Усилие в нити является постоянным по ее длине и определяется формулой
где v — полное число нитей в поперечном сечении оболочки.
В случае нитей, ориентированных по меридианам (С = 0), формулы упрощаются и координаты образующей оболочки выражаются через эллиптические интегралы. Для случая замкнутой оболочки без сосредоточенной силы в полосе (Р0 = 0) получаем
С г2 dr
Безразмерные координаты точек образующей оптимального днища с меридиональными нитями приведены ниже [6]:
О 0.1 0,2 0,3 0,4 0.5 0.6 0,7 0.8 0.9 1,0
*\
10» JL о 0,33 2,67 9,01 21,4 42.2 74,1 121,0 189,3 286,9 581,1
Усилие в нитях оптимального днища данного вида составляет
v
где V — полное число нитей.
ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ,
ПОЛУЧЕННЫЕ МНОГОСЛОЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ НАМОТКОЙ
Приведенные выше результаты свидетельст вуют о том, что возможности создания оптималь иых нецилиндрических сетчатых оболочек нг моткой довольно ограничены. В этом случае нельзя произвольно определять конфигурацию меридиана оболочки при наиболее простом способе укладки нитей — по геодезическим линиям. Использование многослойных оболочек с различным в разных слоях направлением нитей позволяет, в ряде случаев, преодолеть эти трудности.
Рассмотрим оболочку вращения, нагруженную внутренним давлением.
Пусть некоторый t-й слой намотки пересекает базовую окружность радиуса R, составляя угол р,- с меридианом (рис. 14). Шаг нитей слоя на базовой окружности
Рис. 14
238 Пластинки и оболочки из стеклопластиков
Предполагая, чги нити наматьшаются по геодезическим линиям поверхности, устанавливаем, что нити /-го слоя пересекают окружность радиуса л составляя угол сц с меридианом, причем
sin щ = — sin Р/. (41)
Шаг ti нитей слоя на этой окружности находим из того условия, что общее количество нитей, пересекающих окружности Лиг. одинаково:
2nR cos Pi 2т cos а/
fi - Ti '
откуда
fi-
t cos cii
R cos Pi
,42)
Нити данного слоя доходят до окружности радиуса г*}= R sin Pf, где они оказываются уже ориентированными по параллельному кругу.
В точке оболочки на радиусе г усилия N в нитях «'-го слоя вызывают возникновение меридиональных и окружных сил интенсивностей [см. формулы (35) J
Tit = N -г- cos2 щ; Т2 ti
N sin2 ai. *i
Суммируя усилия, создаваемые всеми слоями, получим полные интенсивности сил в сечении оболочки (предполагается, что слои расположены симметрично относительно меридиана)
cos2 ai )
Т,=
(43)
В оболочке оптимальной конструкции эти усилия должны тождественно равняться усилиям, определяемым по безмоментиой теории [см. формулу (38)].
Из этих условий следует подбирать плотности и количества слоев каждого данного направления Pi.
Выше показано, что для цилиндрической оболочки эта задача имеет бесконечное множество решений.
Трудно сказать, имеет ли она решения для всевозможных конфигураций меридиана оболочки, однако для некоторых конфигураций такие решения найдены [121.
Рассмотрим в качестве примера сферическую оболочку радиуса R, нагруженную внутренним давлением р.
Безмоментная теория дает для этой оболочки
Оболочки вращения, полученные непрерывной намоткой 239
Уравнении (43) получают вид
N
N
SCOS2 h
i
Ssin2 h
at
pR
2
PR
2
(44)
эти уравнения должны выполняться во всех точках оболочки.
В качестве базовой окружности выберем экватор оболочки, причем предположим, что имеются слои, пересекающие экватор, составляя всевозможные углы Р( с меридианом.
Количество слоев (отнесенное к шагу нитей), составляющих углы от Р до Р + dp, составит
dv
где функция -щр характеризует закон распределения слоев по углам наклона.
