Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
при s = 0 ы = О, v = 0 |
при s = L Т1 = Т*, s = 0 j ( '
И компоненты поверхностной нагрузки /
Х = 0; К = 0; 1 = 0. (56)
Из формул (53) н (54) в силу условии (55) и (56) для внутренних сил
и перемещений получим
Общая теория симметрично нагруженных оболочек
167
RT*
¦ и = —2д"“ (аи — 2а1г + Oj2) X х [tg-|- + cos (-J-) in tg (-^- + -5.)] cos’A.
x [cos (-?-) m tg (^r + -r) + * -gr] cosa 4 ’
RT*
W - —^— (Qi2 — Огг)
COS*
/?
COS
RT*
2Л
(°u — 2а1г -f- о2г) X
X [Sln ( R ) 1П tg ( 2R + 4 ) + ^ R ] COs2 R "
(58)
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Полагаем, что оболочка вращения нагружена симметрично относительно осн вращения (X Ф О, Y = О, Z ф 0) и имеет соответствующие симметричные граничные условия. Считаем, что оболочка составлена из слоев, материалы которых ортотропны и расположены так, что в каждой точке каждого слоя одна из плоскостей упругой симметрии параллельна координатной поверхности, а остальные две перпендикулярны к соответствующим меридианам и параллелям (см. рис. 4).
В этом случае оболочка будет деформироваться, оставаясь телом вращения, поэтому внутренние усилия и перемещения не будут функциями угловой координаты ф. В оболочке возникнут внутренние силы Т] = Тх (s); Ta — Т2 (s); Ni = Ni (s) и изгибающие моменты М j = = Мх (s); М2 = (s), а из перемещений отличными от нуля будут
лишь и и W.
Тогда уравнения равновесия (2) и соотношения (3), (4) примут вид
(r^i) + T'i sin 0 + -щ- N =
— rX\ -rZ;
(59)
--g- (rMt) + Мл sin 0 — rN = 0;
168
Анизотропные оболочки вращения
I
1
8! = -^- + -^-; 62 = -j-(sucosG — и sin ft); (60) |
кх= —
dW ds 1
sin ft
(6i):
где угол поворота нормального элемента оболочки в плоскости мери- ' диана имеет значение
(62) j
ds
R ‘
Из соотношений (60) и (61) легко получить необходимое в дальней- j шем уравнение неразрывности деформаций
dp < г — (е2 — ej sin ft — W cos ft = 0. (63) ,
Наконец, из формул (5) и (6) получим следующие соотношения
упругости:
7’1 = C„ei + С12е2 + /СцИ, + КцЩ) Ta — См&г С12еj + + КцЩ*
Mi = DjjX j -f- + Ku^i + Кич',
M% = Z)22^2 -}- -f- K22e2 4~ Al2^’l-
(64)
Жесткость целесообразнее определять по формулам (10), т. е. по- j лагать, что координатная поверхность совпадает с внутренней поверх- ; ностью оболочки. I
Напряжения в слоях определяют по формулам (15), полагая, что <
?J6 = ^26= 0. j
Введем вспомогательную функцию V = V (s) так, чтобы удовле- | творились уравнения (2):
sin ©
Тл =
dV
ds
.. cos ft .. 1
N - —у— V + — (s),
(65) :
где
гЕ2 ds
С ( Р°г С
Ft = sin О J тЕг ds + cos © I — J
So \ So
f / P°z Г
= — cos ft J rE, ds + sin I —— J rE2
ds I
(66)
здесь Er и Ег — составляющие внешней поверхностной нагрузки по • направлениям соответственно г и г; Я® — значение главного вектора ¦ внешних сил, приложенных к параллельному кругу s = S„ с радиусом г0.
Общая теория симметрично нагруженных оболочек
169
Очевидно (рис. 9)
?, = Zcas# — Xsin#; Ez = Z sin # + X cos 0; (67)
• Р°г = (Г? cos #0 + № sin #()) 2яг0. (68)
Пользуясь приведенными выше уравнениями и соотношениями [1 ], нетрудно построить полную систему дифференциальных уравнений
относительно искомых функций W (s) и V (s). Окончательно эту систему можно записать
d2V
sin 0 dV
ds?
+
Г Q
[ctl
г
_A с и
l
+
ds
cPW
f Cl2 m_________1
\ Cu Ri‘
ar)y-
R2 Сц Рг sin # dW
ds*
P.
Ri Cu
I
3
r ds sin2#
R1R2
d*W sin
ds2 r
Cu
dW
ds
in2#!
?-] W + Фг (s);
1
R1R2
d*V
fia ^22 Dn-^u
Pi + P2
fi (Dn—Ifn) ds2 Q (Dn — Dbu) rds
1
+ ¦
(?)ц—Djj) R2 Й (D\i ^12) ^ 1^2
Ps sin2#'
V + Ф2 (s),
(69)
'О
Анизотропные оболочки вращения
Pi — КцСц —КцСц\ Pj = Кя»Сц —KiiCjjj
Рз = ^22^12 ----KtsCsfr ^>22^11 ~ К12С12,
Рб = Ки С%2 ----KiaPui
(70
/Т\ С12 1 d Е С22 sin ¦& ч
Ф‘^ ~ • Ж fl (s) ~ с1Г' f 1 (s)’
. Pe 1 d _ ,,
2_ Q(DU-D“i) ’Т’Л lS
r{Dn-O0n)
Pa sin
?2 (Z)n — Djj) r2
(71
^ iKnP C2S - 2КиК„р1л + (Ки)* Си
Щ\ = —**—
Q
n0 {К гг)2 ^ii — ЖГмКиСи +• W12)2 C22
^22 —
Z)?2 =
fi
K11K12C22 — [/Сц/Сга + (^i»)a] ^12 4~ KzzKizCn Q
fl = CnC12 Cjg.
(72
Для полноты выпишем также формулы изгибающих моментог : напряжений в слоях, представленные с помощью искомых фунь ям W и V:
Mi=-[ (Dn - D°,) - (D12 - D%) IT +
J. -?l . 4. A.. -sin V----------—----L F, (s) 1 •
Q ds Q r Q r ll;J ’
.= - [ {Dn - D?2) - (D22 - D»2) i*2- B7 -
_ A. w. - A. JH?Jt v 4. A. _L F, ,s) 1.
Q ds Q г й г J *
(73
Общая теория симметрично нагруженных оболочек
171
1 (sUl Ь V м dV \ 4-
~ оЧд12“Т_,/ + л»"й77 +
+ ["S' (^ПД12 ~ *12Дп) — v^ll J -
- [4" (К12Д,12 - ^22А'н) - yBii] Ч7 +
Д12 1
+ ^~-Fl{sY,
i 1 / sin О . w dV \
~ [""П~ (^11АИ —^l2A2l) + ^22 ] ~&Г +
+ [~(=Г (^12Д22 — ^22A2l) + —
Д22 1 с , ч О Г 1
An - = iJfiCto — ^«пСц: А99 = BnnC*€j — Я10С9.
Д12 — ®И^22— ^12^12* Д21 — Во<>С ц В\эР
22 11'
И°12»
(74)
Вектор полного перемещения можно представить не только посредством обычных компонентов перемещения и, w, но и с помощью величии: е2 — перемещения по оси г, ег — перемещения по радиусу г. Очевидно,
ег = и cos Q + w sin в;
