Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
, _ 1 _ dft 1 Я, ~ ds
/г, = —L =
cos#
/4 = 1; B = r — R2cosi
Rs
dr
ds
= — sm
d / 1 \______________________/ 1__________________1 \ sin ft
ds \ R2 ) ~ \ Rr Rs ) r
(1
В принятой системе координат для произвольной нагруженное оболочки вращения из формул (1) получим следующие уравнения oat
новесия:
ds дТ,
(гТг) + Т2 sin ft
dso
Ni = — rX\
(rs12) — S21 s*n ^ + -Щ' Л^2 — — rY\
dtp
d / nr \ 1 ^2 / ^1 I \ у
ж ("*¦>+-w+¦«г)—¦*•
ir<w
дМг d dq> ds
Si2 — Sji
dHs
dtp
(rHi2) — sin ft = rN2\
, H1S Hn
Ri
Rt
0.
(2
Формулы, связывающие компоненты деформаций и сдвига, изменения кривизны и кручение с компонентами перемещений
Общие положения и исходные соотношения
155
__ д / dw и \ _
~ ds \ ds Ri )'
__ 1 ^/”1 &w о \ / dw и \ sin
Кг~ Т' "дф" \7 dip FU / \ ~ds Ж) г
(4)
___ 2 / d2w dw sin ¦ft \ 2 ди .
Т г \ ds dф dq) г ) г1?г д(р
. 2 / до , sin ¦ft \
+ж(*"+?'~Н-
Приведенные уравнения и соотношения ничем не отличаются от соответствующих уравнений и соотношений изотропных оболочек вращения. Что же касается соотношений упругости, то они отличаются принципиально и в наиболее простом, но непротнворечащем варианте запишутся в следующем виде [1 ]:
Т\ = Сне, -j- С12еа -f- C16w -f- КцЩ + Rum2 + КЫТ,
Т% = С22еj + Сыег -f- С26со -f- Л22>{2 + КцЩ + Kiet;
Sit = С|)6ш -f- CigBj -f- C26e2 -f- /Св6т -f- КиЩ + КъъЩ -f-
+ кг (/C66o> + Kiaei + /С2вег + ^eex + ^16*1 + )l
S2j = Cee<o -f- CkjE! -f- C26e2 -f- /(ббт + + ^гвха +
+ &i + KieEi + ^Caee2 + Deex + -f- D^yt»);
= &цУ-1 - Ь ^12^2 I - ^ie’t 4" ^nEi 4" ^i'2l 2 ~ b /CieW>
М2 = DaHi -f- DigXx -f- Diej -f- Kvfi2 -J-. K1261 -J-Нц — DeeT -f- Di6»ti -f- ~Ь ^вви "b /?ie8i ~Ь Кгъ(г>
H2i = Dmt -f- Dio>ti + Di6x.2 + Лввсо + /Cj68i + ^26e2i
(5)
(6)
где для жесткостей растяжения—сжатия и сдвига С/*, для жесткостей изгиба и кручения С/ь для жесткостей изаимного влияния Kjk имеем
т+п
c-,k => 2 й/Н^-йв-х); (7)
S=1
. m+rt
% = -f S [(*s - 6?-i) ~ 2A (й8 - 6S_0] 5 <8>
D/* = 4- 2" [(fis - <?-i) + 3* (6? - «Li) +
S=1
+ ЗД2(й8 — *s—1)]> (9)
где Д — расстояние координатной поверхности от внутренней поверхности оболочки; (т+п) — число всех слоев оболочки; т — число слоев ниже координатной поверхности; п — число остальных слоев
156
Анизотропные оболочки вращения
рис. 5). Если координатная поверхность оболочки расположена внутри сакого-лнбо слоя, то под п подразумевают число слоев выше координат-юй поверхности плюс один.
В частном случае, когда координатная поверхность оболочки совпа-ает с нижней (внутренней) поверхностью оболочки, Д превращается нуль и для Cjk, Kjk, Djk получим
m+n
Cjk= 2 B*lk(6s-6s_i);
S—1
m-\-n
(Ю)
s=l f m+n
o«=-f S
S=1
Коэффициенты упругости By* для каждого слоя оболочки запишутся ормулами 1
Вц
“22G66 ‘
“26
file —
Й
cI6a26 — al2att
Q
a12°26 — a22a16
fine ------
fifil
alla66 “16
alla22 a:
12
Q
fl120ie — all°26
Q ’ Q
Q = (fliiG22 — “12) a66 + 2а12а16а2б — aua26 а22а1б>
(И)
(12)
1 Индексы над а^ и Q опущены.
Общие положения и исходные соотношения
157
где а/ь — упругие постоянные (коэффициенты деформации), входящие в уравнения обобщенного закона Гука, который имеет вид
В частном случае ортотропной оболочки (здесь и в последующем под ортотропными оболочками будем понимать такие оболочки, которые изготовлены из ортотропного материала так, что два главных направления упругости в каждой точке каждого слоя оболочки совпадают с направлениями соответствующих линий кривизны s = const, ср = ¦= const координатной поверхности, а третье направление — с нормалью к координатной поверхности, т. е. с координатой у) соотношения упругости (5) и (6) существенно упрощаются, так как в этом случае все упругие постоянные а/* и тем самым жесткости С;-?, Kjk и D/* с индексами 16 и 26 обращаются в иуль.
Существенно упрощаются также коэффициенты упругости которые принимают вид
где Е^, v{, \lv Gj2 — модули упругости, коэффициенты Пуассона и модуль сдвига для главных направлений упругости материала каждого слоя.
В случае, когда оболочка изготовлена из ортотропного материала так, что главные направления упругости не совпадают с направлениями линий кривизны (с координатными линиями s «= const, ф = const), повторяется картина общего случая анизотропии, т. е. задача математически формулируется так же, как для общей анизотропии, и соотношения упругости остаются в форме (5) и (6), при этом лишь надо знать, что жесткости и упругие постоянные с индексом 16 и 26 будут представлены посредством составляющих жесткостей с индексами 11, 22, 12, 66. Пусть, например, в рассматриваемой точке главные направления упругости ортотропного материала оболочки совпадают с направлениями координатных линий некоторой ортогональной системы координата, р, у и пусть в этой системе координат коэффициенты В/* равны Ви, б22, В12, Вб6. Нам необходимо определить коэффициенты B-k в ортогональной системе координат а', р\ у, совпадающей с линиями
!Пса + а12°Э + °13°у + a14'tpv + alSxa\ + а16та0;
(13)
еаэ==а1в°«+агб°э + -
158
Анизотропные оболочки вращения
кривизны координатной поверхности оболочки, если известно, что коо;-динаты у' и у совпадают, а направления координатных линий с и Р' с направлениями координатных линий аир составляют угол <р.
