Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
в.
D=r=b- [
Температурные функции
Ez2 dz.
“01
Г1 = Т=Т f Eatdz> —
Л.
г>=тм
Eaiz dz.
(54)
(55)
(56)
(57)
(58)
(59)
(60) (61)
136
Круглые пластинки и оболочки вращения
Система разрешающих дифференциальных уравнений. В качестве основных неизвестных функций выбирают угол поворота нормали д [формула (48)] и величину, связанную с перерезывающей силой,
П = R*Q- (62)
Разрешающие уравнения имеют следующий вид: d_ ds
( R2 rft) \ d (vctgfi , R2 \ctg0 dti
{ A ' ds J ds\ A Ъ ) A ' ds
-?('+”•,63)
jd_
ds
(sin + "37(vD^ COS0) — \D COS 0 —
_ 4 Ct^--e Ф + П sin 0 = + y2,, (64)
где функции, зависящие от внешней нагрузки и температуры,
Г 1 1 v 1 1 f 1 i v ^ 1 P
L 1 Ri 1 Ri 1 I Ri 1 /?2 ) J 2л sin4 0
xViq = 0; (67)
Ya, = (R2T2 sin 0) — 7, cos 0. (68)
В последних равенствах Р — равнодействующая внешних усилий,
приложенных к рассматриваемой части оболочки.
Если известны функции ц и й, то усилия в срединной поверхности определяют из соотношений
* = 1" 2я R2 sin2 0 : (69) !
Щ = — Ч’ — 2jlRi sln2 е + qnRi\ (70)
Q = -^4 (71) j
{
Величины Me и Мф находятся из равенства (56) и (57). )
Расчет оболочек при упруго-пластических деформациях 137
Интегральные уравнення. Для построения простого алгоритма расчета, удобного для программирования и вычислений, проводится двукратное интегрирование уравнений (63) н (64).
Учитывая равенства
S S
Г) (s) = J Г)' (s,) ds, + Г) (с); 0(s) = j {}' (s,) ds, + О (с), (72)
где а — значение дуги s для начального сечения, получим интегральные уравнения [1] относительно функций rj' (s) и (s):
tj' = Z.ur)' + L,20' + Ч (a) Fu + t)' (a) F12 + '& (а) Fis +
+ (а) + F\q + Fit;
¦&' = L21V' "I" ^-22^' + *1 (a) F21 + tj' (a) F22 + G (o) FS3 -j-
+ (a) Fu + F2q + Fu,
(73)
где
L, ] t)' =
Ui[ I (i+'’(-)ItI) ) й,ТЛй J 4'<*>*<'«+
La a
+
v (s) ctg 0 (s)
a i
ctg e (st)
(74)
A 0|
J j О' Ы ds? ds,; (75)
Laij' =
J
О (s) /?2 (s) sin 0 (s)
J sin 0 (sj) J r[' (s2) ds2 ds,; (76)
1
D (s) /?* (s) sin 0 (s)
J D (si) ctg 0 (s,) cos 0 (s,) ?-
(s)
X J •&' (s2) ds2 ds, + J D (s,) V (s,) 0' (s,) cos 0 (s,) ds, —
a a
— D(s)v (s) cos 0 (s) J •&' (sx) ds, I.
a J
(77)
138
Круглые пластинки и оболочки вращения
Функции при начальных параметрах определиютси следующим* равенствами:
s
я* I
Fu —
A(s)
Я2(«)
(У, I vfii (Sl)\ Ctg2 6 (St)
L 0
, V(s)ctg0(s) Vo ctg 80 _r A (s) Aa
F"-0i
^21-----------
1
D (s) /?2 (s) sin 0 (s) 1
| sin 0 (si) rfsi; F22 = 0;
23 D (s) /?2 (s) sin 0 (s) 1
J D (Sj) ctg 0 (Sl) cos 0 (sj) x
X
Ri (si)
cl Si — D (s) v (s) cos 0 (s) + Da v0 cos 0fl
Fa —
DaF2a sin 0д
M D (s) R2 (s) sin 0 (s) ’ Функции внешней нагрузки н нагрева
а
fle = ^H4'I<'(Sl)rfSi; Р2Я = 0;
а
s
1
D (s) R2 (s) sin 0 (s)
(78
(79
J (Si)dsv (go
Решение системы уравнений (78) можио представить в следующее {юрме:
tj' = tj (а) Фи + т)' (а) Ф12 + Ь (а) Ф13 + Ъ' (а) Ф14 + Ч-Фц+Фи;
= t) (а) Ф21 + г)' (а) Фм + © (а) Фм + Ь' (а) Фм +
+ Фщ + ^2 <•
Функции Фц (i — 1, -2; / = 1, 2, 3, 4, q, t), входящие в эти равеь :тва, будем называть фундаментальными.
(81
Расчет оболочек при упруго-пластических деформациях 139
Для определения фундаментальных функций Ф1;- и Ф2/- решается система уравнений
Ч' = ^-пЧ' + + F if’ 1
¦О' = ^214* + L2tb' + F2j. j
При использовании метода последовательных приближений расчет ведут по схеме
*1(п+1) — ^пЧ(л| + Ч.${п) + Л/> fyn+l) = ^l4(n) +^22*(п) + /¦
(83)
где индексы п и п + 1 указывают соответствующие приближения. Принимая исходное приближение
4(0) — О(0) =
получим для первого приближения
4(1) = F\p ^(l) — F2j>
для второго приближения
4(2) = ^uFlj + ^22^2/ + Л/»
0(2) = ^21^1/ + ^22^2/ + Flj
и т. д. Процесс последовательных приближений заканчивается при
достаточной близости двух соседних приближений. Если приближение
с номером k принимают последним, то относительней погрешность
Ч(*)~~ Ч(*_1|
Ч*
<Ai,
\k) — 0(fe-o
’(k)
(84)
для всех расчетных точек. В практических расчетах на ЭВМ можно принять
Aj = Д, да КН.
При удовлетворении условий (84) принимают
ч|*) » Фц. » ф2г
(85)
Матричная форма основных интегральных уравнений [уравнений
(73)]
(86)
где
Y = LY +FlY (a) + F2Y(a) + Fg + Ft,
-m—-m— -
L — матрица интегральных операторов [см. формулы (74), (77)]
lilV, 1-1. 2);
40
Круглые пластинки и оболочки вращения
=i, F2 — матрицы функций при начальных параметрах [см. формулу 78)]:
rF.-F.-l Г F..F—1
(88)
Решение (81) в матричной форме
У = Ф, Y' (а) + Ф2К(а) + Фя + Фг;
(89)
—К}«
Метод начальных параметров. В качестве основных функций, описы-ающих напряжения и деформации в оболочке, принимается столбец-ешение
-[г]-
П'
д'
п
д
(91)
Основное уравнение в методе начальных параметров имеет вид
К= Ф1/ (а) + V,, + Vt, це столбец начальных параметров
"ч' (а)
V(a) =
О' (а)
Tj(fi)
©(а)
(92)
(93)
Фундаментальная матрица четвертого порядка Ф. состоящая из поков матриц второго порядка,
Ф =
Е +
Фг_
Ь
ds
(94)
ie Е — единичная матрица второго порядка. Столбцы частных решений
Расчет оболочек при упруго-пластических деформациях 141
