Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
цилиндра к наружному;
р — внутреннее рабочее давление в составном цилиндре;
рк — контактное давление после соединения цилиндров (при отсутствии рабочего давления р);
рк — контактное давление при наличии внутреннего давления р;
6 — диаметральный натяг.
Из условия равнопрочное™ внутреннего и наружного цилиндров определяют необходимое контактное Давление
, 2
1
Рк
(16)
Чтобы получить такое значение рк, надо в результате посадки создать начальное контактное давление
I i — «9 Ki V1 —
Рк-
Г \-kl
*1(1-*2)
(1?)
422 Плоская деформация толстостенных цилиндров
После приложения давления р эквивалентные напряжения в опасных точках обоих цилиндров будут одинаковыми. Эти напряжения определяют по формулам
= (18)
Л \ У
Наименьшее значение эквивалентного напряжения достигается, если радиус посадочной поверхности равен среднему геометрическому внутреннего и наружного радиусов:
ГК = (19)
В этом случае
К = k%— Vk. (20)
Необходимое начальное контактное давление
Рк ~ Р 2 (1 + ft) ' (21^
соответствующий диаметральный натяг
6 = -|г2гк. (22)
Эквивалентное напряжение в опасных точках обоих цилиндров составляет
Оэкв = j ^ • (23)
Отношение этого напряжения к эквивалентному напряжению (подсчитанному также по теории наибольших касательных напряжений) в несоставном цилиндре таких же размеров будет
°сост 1 -|- ft ^24^
осп.1 2
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ЦИЛИНДРАХ
При неравномерном нагреве в деталях возникают температурные напряжения. Ниже приведены формулы для напряжений, справедливые при осесимметричном поле температур, постоянном по длине цилиндра или изменяющемся по линейному закону. Предполагается также, что упругие постоянные материала (Е, v) постоянны (не зависят от температуры). При выводе этих формул использованы уравнения равновесия и совместности деформаций [см. уравнения (2) и (4) ], а также условие сохранения плоских сечений
Температурные напряжения в цилиндрах 423
В уравнениях, связывающих деформации с напряжениями, учитывают влияние температуры
е, = (ог — vat — vaz) -f at;
ej = — (а/ — va* — va,) + a t;
e* = -g- (Ог — va, — vcit) + at.
(26)
где a — коэффициент линейного расширения.
Совместное решение уравнений равновесия и совместности деформаций с учетом уравнений (16) и (17), а также граничных условий
при р — k a, = 0;
при р = 1 а,
7,-0; |
п, = 0 I
(27)
приводит к следующим значениям температурных напряжении:
I — V
а, =
1 — v
а<г dr
Ог =
1 — V
/?2-,2
If
a<r dr — at
(28)
В этих формулах a — коэффициент линейного расширения материала; t— превышение температуры данной точки цилиндра над температурой его наружной поверхности в том же поперечном сечении. Если распределение температуры известно, входящие в выражения (28) интегралы могут быть определены аналитически или численно.
В частном случае, если поток тепла установившийся, температура распределяется по закону
424 Плоская деформация толстостенных цилиндров
где Т — разность между температурой внутренней и наружной поверхности цилиндра. При этом напряжения составляют
ЕаТ I Г , ft'2 /, 1 \ , Л
Or =
щ = Ог-
2(1—v) In ft ЕаТ I
2(1— v) In
ЕаТ
2(1—v) In
(30)
Характер распределения температурных напряжений по толщине стенкн цилиндра показан на рис. 6, на котором приведены эпюры напряжений при ft = 0,5, v = 0,3.
2. Значения температурных напряжений
1 Си II CL 1 о. II с.
k > k > ?
1 G 1 е 1 о 1 о
с из tu су xz. из
с t с id
k-> 0 0 —1,00 0,6 0,417 —¦0,583
0.1 0,206 —0,794 0,7 0,441 -0,559
0,2 0,270 —0,730 0,8 0,463 —0,537
0,3 0,315 —0,685 0,9 0,483 —0,517
0,4 0,355 —0,645 1.0 0,500 —0.500
0,5 0,388 —0,612
Значения напряжений аг = с( у наружной и внутренней поверхностей цилиндров с различными отношениями = ft приведены в табл. 2.
К
Методы решения задачи о температурных напряжениях в толстостенных цилиндрах с учетом температурной зависимости механических характеристик материала рассмотрены в работе [2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Пономарев С. Д. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. Т. II. Гл. I. М.» Машгнз, 1958.
2. М а л и и и и Н. Н. Расчет неравномерно нагретых толстостенных труб. Сб. «Расчеты на прочность машиностроительных конструкций». МВТУ. Вып. 31. М., Машгиз, 1955.
Глава 16
ДЕФОРМАЦИЯ ЦИЛИНДРОВ ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ ПО ДЛИНЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКЕ
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
При осесимметричной переменной по длине деформации цилиндра в точках его возникают нормальные напряжения о>, О/, oz и касательные хгг.
Напряжения связаны между собой уравнениями равновесия бесконечно малого элемента (рис. 1). При отсутствии массовых сил эти уравнения имеют вид
да, дтг_
др +
+ ^*=0;
Wp (Рт«) + Р^-о,
где введены безразмерные координаты р = —;
н
t, = ^-\R—наружный радиус цилиндра. Рис. 1
R
Относительные деформации могут быть выражены через радиальное (и) и осевое (w) перемещения точки по формулам
е'=Х
ди
ар ’
и
~р
1
If
dw
Ж'
I ( ди dw\
Y~ ~-«(ж + др)'
(3)
С другой стороны, деформации связаны с напряжениями уравнениями закона Гука; таким образом, приходим к уравнениям
