Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для характеристики напряженного состояния в точках, лежащих на поверхности площадки контакта соприкасающихся тел, достаточно рассмотреть центр и точки контура эллиптической площадки. Полагая г = 0 в формулах (1)—(3), получим выражения для напряжений в центре площадки контакта
Ъ
О Напряженное состояние деталей в местах контакта
Напряженное состояние в точках контура эллиптической площадки нтакта характеризуется напряжениями ох, ау и тху — Тух (нормаль-е напряжение ст? и касательные тхг = т** и хуг = t2J/ равиы нулю), [ражения для которых имеют вид
* = -Ро (1 - 2v) JL [l -JL arcth ljL-Ж arctg Ж j ;
];
— 9.v1 Г1--------------— arcth —-------------arctg -Щ
Оу = ро (1 — 2v) -Е- [
Сху = —Ро (1 — 2v)
Р1
е2
ab
ае Г х
а
ех
arcth
ае а
М.
be
arctg
]•
(9)
fi = и е2 = 1 — В2.
' а г
В общем случае %Ху ф 0 и нормальные напряжения в отличие от нтра площадки контакта не являются главными напряжениями, адим из главных напряжений будет о2 = а2 — 0, а два другие опре-ляют по известным формулам
Ь = 4- ^ К - а</)2 + 4т*«/ ; =---\-V(°х -Су)2 + 4т;
.2
Во всех точках контурного эллипса площадки контакта имеет место юское напряженное состояние, называемое чистым сдвигом к = —о3, ст2 = 0). Плоскость чистого сдвига совпадает с координатной юс костью ху.
На концах большой полуоси х = а, у = 0 отсутствует касательное шряжение гху = 0, а нормальные напряжения в площадках, парал-:льных координатным плоскостям, будут
ох = — оу = —ро (1 — 2v) 1------y arcth e J .
(10)
Эти напряжения и az = 0 будут главными. При соотношении — ¦
0,5 и v = 0,3 е = у 1 — (— 0,8660; с* = 0,139рс; оу = — 0,139р0.
Следовательно, в точках концов большой оси эллипса в направлении ой оси будет наблюдаться растяжение, а в перпендикулярном направ-;нии (параллельно малой оси) — сжатие. На концах малой полуоси = 0; у — b также отсутствуют касательные напряжения; напряже-1я ох и оу будут главными и определяться по формуле
Р
Ох = —Оу :
-Ро(1
- 2V) -J-[l-
Р * е
— arctg т
(П)
При — = 0,5 и v = 0,3 ох = —0,105 р0; оу = +0,105 р„, т. е.
этих точках в направлении малой оси будет растяжение, а в направле-
1И, параллельном большой оси, — сжатие.
Эллиптическая и круговая площадки контакта 401
Исследование напряженного состояния точек у поверхности контакта показывает, что максимальные касательные напряжения, в зависимости от величины отношения геометрических параметров А к В, определяемых формулами (4) гл. 13, получаются или в центре площадки или по
А
концам большой оси контурного эллипса. Так, при-g- <0,33 большее
А ^
значение имеет касательное напряжение в центре эллипса, а при -д- >>
> 0,33 — по концам большой оси. Величина наибольшего касательного напряжения не превышает 0,2р0, т. е. оно значительно меньше наибольшего касательного напряжения в рассмотренных выше точках оси г.
В частном случае, для круговой площадки контакта (рис. 5), в центре площадки напряжения будут: наибольшие сжимающие напряжения
= —Ро
и два других главных напряжения
1 + 2v
ох = а2 =-----—1Tg— Ро .
При v = 0,3 главные напряжения в центре будут
ах = os = —0,8 Po, о8 = —ро,
т. е. имеет место напряженное состояние, близкое к всестороннему равномерному сжатию. Максимальное касательное напряжение в этой точке
Тшах= —'-g-0- --= 0,1р0.
В точках контура круговой площадки действуют: наибольшее растягивающее напряжение, направленное вдоль радиуса (при v = 0,3),
1 — 2v
а* “----3— Ро “ 0>Шро;
промежуточное главное напряжение о2 = ог = 0; третье главное напряжение направлено по касательной к контуру площадки
1 — 2v
03 = — —-д—Ро => — 0,133р0.
Как в общем случае эллиптической площадки* так и в частном случае при круговой площадке контакта, во всех точках контура будет иметь место двухосное напряженное состояние, называемое чистым сдвигом. Максимальное касательное напряжение (при v = 0,3)
Тшах = —^~2—* = 0,1 ЗЗро.
402
Напряженное состояние деталей в местах контакта
Максимальное касательное напряжение достигает своего наибольшего значения в точке, лежащей на оси z на расстоянии г & 0,5а, где а — радиус площадки контакта. Величины главных напряжений для указанной точки (v = 0,3) будут
Ох = о2 = —0,180ро; а3 = —0,8рв.
Наибольшая величина касательного напряжения в этой точке
-W= ih^as - О.ЗЮро.
ПЛОЩАДКА КОНТАКТА В ВИДЕ ПОЛОСЫ, ОГРАНИЧЕННОЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ЛИНИЯМИ
Такая площадка получается при первоначальном линейном контакте.
Путем несложных преобразований выражений (1)—(3), полагая а = оо, можно определить значения главных напряжений ах, ау, вг в точках, лежащих на расстоянии г от средней линин площадки контакта: ________
1/77Щ04
о у = —ро
-2~f
(13)
1У'+(-г-)‘
Ог = -Ро 1 . (14)
В точках средней линии полосы при г = 0 напряжения будут
сх = —2 vp0; оу = — р0; о2 = —р0. (15)
Следует отметить, что так как длина соприкасающихся цилиндров предполагается неограниченно большой, а давление распределенным равномерно вдоль длины, то начало координат можно совместить с любой точкой средней линии полосы контакта. Ось х направлена вдоль полосы по средней линии, а ось у лежнт в плоскости полосы контакта, перпендикулярно средней линин, ось г перпендикулярна полосе контакта и направлена внутрь тела. Напряженное состояние не зависит от координаты х, т. е. постоянно вдоль полосы контакта.
