Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
B=T]p0-i-(tf-D); (23)
здесь величина К. представляет собой эллиптический интеграл первого рода
л
К (е) = Г - ^,ф ; (24)
J V1 —е2 sin2 ф
и
L — интеграл второго рода
л
2
L (*) = f e2sin2(pd<p (24а)
и D — их сочетание
D(e) = -^-lK{e)-L(e) J. (246)
Указанные эллиптические интегралы являются функциями относительного эксцентрицитета контурного эллипса площадки контакта
1 ' С.) •
Исключая цро из выражений (22) и (23), приходим к следующему трансцендентному уравнению для определения эксцентрицитета:
(25>
Деформация conрикусающихся тел в случае контакта 389
Задаваясь различными значениями е и используя таблицы полных эллиптических интегралов, можио определить по формуле (25) соответ-
А А
ствукяцие значения отношения -g- . Графическая зависимость - =
= / (е) показана на рис. 4. Если обозначить сумму главных кривизн поверхностей соприкасающихся тел в месте первоначального контакта
2 * = *11 + *12 + *21 4" *32» (26)
нетрудно показать, используя выражения (4), что
2* = 2(Л + В). (26а)
После преобразования соотношений (19) и (21)—(23) можно представить выражения для полуосей эллипса, наибольшего давления р0 и сближения 6 в следующей форме: большая полуось контурного эллипса
а — па
3 т]/1
2 ‘2*’
(27)
где
малая полуось контурного эллипса Ь
где
з /~ 3 ri Р
V 2 '2й
2*’
nb=y\(i+4)«-D)VT
(28)
наибольшая интенсивность давления рв между сжимаемыми телами
з
Ро=пр-
где
3
Т
1
№
(29)
папь ’
сближение б соприкасающихся тел
(30)
390
Теория контактных деформаций
где
«6 = Л'
з/
V
4
яг
! + •
1
D '
(31)
Из зависимостей (27)—(30) следует, что при круговой площадке контакта (е = 0) все коэффициенты па, пь, пр и пс, будут равны 1 и в этом частном случае
(32)
При касании сферических поверхностей радиусов Ri и R2 сумма кривизн
2‘-«Нг **-)-«-№
знак минус берут при касании шара радиуса Rt и впадины радиуса R2-В другом предельном случае, когда е = 1, т. е. при соприкосновении двух цилиндров неограниченной длины с параллельными осями (до деформации они соприкасаются по линии) после приложения сжимающих сил, равномерно распределенных по длине цилиндров, соприкасание будет по узкой полосе, ограниченной двумя прямыми. Параметры А и В, определяемые по формулам (8), будут
Л = 0 и В-
Этим значениям А и В отвечает переход эллипса с = 1 в бесконечную полоску шириной 26 и а = оо. Эллипсоид давления при а = оо переходит в эллиптический цилиндр. Распределение давления по ширине 2Ь полосы контакта
Р = Ро~ (33)
изображается ординатами эллипса
\2
(34)
Вводя понятие о линейной интенсивности q распределения нагрузки по длине цилиндра
+*
+6
Ро_
С
л Ьс
(35)
можно определить наибольшее давление
Я Ь
Ро =
(36)
Деформация соприкасающихся тел в случае контакта 391
Полуширина полоски контакта может быть определена из общей формулы (28) как предельный случай при эксцентрицитете е = 1
¦-/4-
49 (37)
2**
Подстановка величины Ь по формуле (37) в выражение (36) приводит к следующему выражению для наибольшего давления:
1 f 1 2^
P°=V ir-^г^
Полученные формулы (37) и (38) широко применяют и в случае расчетов соприкасающихся цилиндров конечной длины, например, при расчете зубьев цилиндрических зубчатых колес на контактную прочность. Затруднения возникают при определении сближения цилиндров. Действительно, предельный переход в общей формуле (30) приводит к заключению, что сближение обращается в бесконечность. Это объясняется тем, что предельный переход соответствует рассмотрению двух цилиндров неограниченной длины (а = оо), находящихся под действием бесконечно большой нагрузки Р = 2qa.
Вместе с тем очевидно, что для цилиндров конечной длины сближение 6 конечно и зависит не только от деформаций в месте контакта, но и в значительной мере обусловлено деформациями всего тела. Рассматривая круговой цилиндр конечной длины, нагруженный с двух сторон давлением, распределенным по ширине площадки контакта по эллиптическому закону, и учитывая не только деформацию в непосредственной близости от площадки контакта, но и общую деформацию цилиндра, можно получить для изменения величины диаметра, параллельного направлению действующих сил, следующее выражение:
й . 4 (1 V2) 2/?
яЕ
Ч [in -“L+ 0.407], (39)
в котором R — радиус цилиндра, b — полуширина площадки контакта.
Применяя эту формулу к случаю сжатия двух параллельных цилиндров с радиусами Rx и R%, можно найти сближение их центров:
2 q
тг (1+°'т)+ -тг^ (т +0’407)] •
(40)
Для облегчения использования формул (27)—(30) в табл. 1 рассмотрены частные случаи соприкасающихся поверхностей.
Значительное упрощение вычислений дает применение табл. 2, в которой значения коэффициентов па, пь, пр и лс даны в зависимости от величины
В + А
У(кц — ^1г)а -f- (^21 ^гг)а ~Ь 2 (fen ^-12) (^21 ^22) COS 2(0
fen + fei2 + kn H~ fe22
1. Размеры площадки контакта, величины наибольшего давления и сближения соприкасающихся тел
Форма соприкасающихся тел и их взаимное расположение
Размеры площадки контакта
Величина наибольшего давления между соприкасающимися телами
Сближение соприкасающихся тел
