Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь определим деформации тел в местах контакта, величины размеров площади контакта и давления, распределенного по этой площади.
Перемещение точки Л1р в жестко связанной на бесконечности с пер вым телом системой координат хг, уъ (см. стр. 383), ш1 параллельно оси гх, представляет собой перемещение относительно недеформирован ной части тела, расположенной далеко от области контакта. Перемещение точки О первого тела, т. е. точки первоначального контакта (сы. рис. 3), обозначим через wt (0). Взаимное перемещение этих точек, вызванное деформацией тела, будет равно разности перемещений [a>i (0) — ]. Аналогично можно найти взаимное перемещение точек А 2
и О второго тела [ю2 (0) — w2].
До деформации расстояние между соответствующими точками At и А 2, лежащими на одной вертикали, было равно гг + г2. После деформации это расстояние изменилось на величину
[а'! (0) — ] + {w2 (0) — ш2].
Очевидно, что при сжатии тел силами, действующими вдоль общей оси г, в соприкосновение придут те точки, для которых
гг + г., = [шх (0) — %] + [га2 (0) — ш2] =
= [tOj (0) + ш2 (0) ] — (и*! + w2). (11)
13 Справочник, т. 2
366
Теория контактных деформаций
Сумма перемещений wx (0) и w3 (0) точек первоначального касания характеризует их взаимное перемещение в целом или их сближение 6. Тогда
к (0) + (0) ] = 6 (12)
и
гх + za = 6 — (wx + w2). (13)
Зависимость (13) представляет собой уравнение перемещений контактной задачи. Если Ах и Л2 совпадают с точкой первоначального касания, то обе части уравнения обращаются в нуль. По мере удаления соответствующих точек Ах и Л2 от оси г левая часть зависимости (13) возрастает и соответственно уменьшается в правой части член, содержащий (wx + ш2). Среди всех точек, приходящих в соприкосновение при деформации тел, величина гх + г2 будет наибольшей у контурных точек площадки контакта.
Выше было установлено, что семейство кривых равных расстояний
zx + z2 = const (14)
представляет собой семейство подобных и подобно расположенных эллипсов
Ах2 + By2 = const. (15)
Это позволяет вывести заключение, что контур площадки контакта представляет собой эллипс, полуоси которого совпадают с полуосями эллипсов по выражению (15).
Учитывая, что размеры площади контакта малы по сравнению с общими размерами соприкасающихся тел, можно использовать выражение (2) для определения упругих перемещений wx и к>2, представив их в виде
wx
где
kl =
я Ex
w« = ko
(16)
1-V2
лЕ2
F — площадь контакта, т. e. площадь, ограниченная контурным эллипсом.
Уравнение перемещений (13) можно, используя выражения (3) и (16), представить в виде
Ax2 + By2 = b-k0 [ F
6 - (Л*3 + By2) = j
(17)
где
fcn =
_1_
я
1 -Vj Ег
+
Деформация соприкасающихся тел в случае контакта 387
Уравнение (17) представляет собой интегральное уравнение относительно неизвестного закона распределении давления р по эллиптической площадке контакта F. Кроме того, подлежат определению также размеры площадки контакта (большая а и малая Ь полуоси контурного эллипса) и величина сближения 6 соприкасающихся тел.
Подберем закон распределения давления р, чтобы удовлетворить интегральному уравнению (17).
Так как в центре эллиптической площадки контакта перемещение наибольшее, то в этой точке будет и наибольшее давление р„. Пространственная эпюра распределения давлений по эллиптической площадке может быть представлена эллипсоидом с полуосями а, Ь и с*
Ф’+Ш’+Ш’
т. е. примем, что давление р в произвольной точке х, у площади контакта пропорционально ординате ? эллипсоида и выражается следующим равенством:
(18)
Из выражения (18) следует, что рассматриваемое распределение давления р по площади эллипса F = nab вполне определяется полуосями а и b и не зависит от третьей полуоси эллипсоида с. Выбор величины с определяет собой только форму эллипсоида давлений, но не влияет на величину отношения
У'-ШЧт)2
является равнодействую!
Р= \PdF=^- J IdF;
Сжимающая сила Р является равнодействующей давлений по площади контакта:
в последнем выражении
F F
^dF = —¦ nabc
F
как объем полуэллипсоида.
Следовательно,
<19)
при распределении давления по эллипсоидальному закону наибольшее давление в 1,5 раза превышает среднее.
Предположение об эллипсоидальном распределении давления (18)
позволяет выразить правую часть уравнения перемещений (17) в виде
* Подробное обоснование и вывод см. в работе t301.
388
Теория контактных деформаций
квадратичной зависимости от координат х и у, т. е. виде, аналогичном левой части того же уравнения. Другими словами, сделанное предположение о распределении давления удовлетворяет интегральному уравнению (17) и позволяет определить как размеры площади контакта, так и величину сближения.
Правая часть уравнения перемещений (17) с использованием выражения (18) после интегрирования и преобразований [30] принимает вид
б — (А*3 + By2) = т) [аЬ1<-~ 0x2 — - D) у2 j , (20)
1-v'i , 1 —vl
4 Et + ?z •
Приравнивая свободные члены и коэффициенты при х2 и у2 в левой и правой частях равенства, получим
6 = г}р0ЬК; (21)
А = чр„ A- D; (22)
