Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
при 0= -5- —'*' -=0.5. с =-----------v = 0,3
2 |A Rh 9
Форма Приближения к
0 I II Точное решение
Пластника 3,00 4,55 5,09 5,38
Оболочка . 3,16 4,80 5.37 —
7’g r
Распределение —по контуру отверстия при = 0,6 дано
на рис. 61 и 62.
Коническая оболочка [10.] Круговое отверстие. Одноосное растяжение. Растяжение конической оболочки усилиями интенсивности ph. Значения Т*ь I j с учетом нулевого и первого приближений определяют по формуле
К U = РоЛ {» - 2 (1 + X ярг)cos 2 6 +
+ в ?— cos 0 + -jg- ^ 1 + -||у- яр2^ cos 30 + j|g ЯР2 cos 50J|.
Нулевое приближение совпадает с решением для цилиндрической оболочки.
Напряженное состояние около эллипсоидальной полости 375
Распределение k при v = 0,3; г = 0,15;
V Rh
— 0,5 для цилиндри-
ческой и конической оболочек показано на рис. 63.
кУ
.4
¦tga = 0,К
-----Цилиндрическая
оболочка -----Коническая оболочка
Рис. 63
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ПОЛОСТИ
Решения для произвольных форм полостей отсутствуют, поэтому приводим результаты исследования напряженного состояния возле трехосной эллипсоидальной полости (рис. 64):
_ 4- У
ра р2 — ег
•р2 —1
¦ /г2 = 0;
(48)
р — эллипсоидальная координата, определяющая семейство эллипсоидальных поверхностей (на поверхности полости р = Рис. 64
= Ро)-
На бесконечности задано произвольное однородное напряженное состояние, которое можно представить как сумму напряженных состояний;
°х ~ °х’ °у °у’ °г — °г* %ху ~ xyz :
(49)
'у "г ”• 'ху 'ху' *уг "уг’ 'гх 'zxi Общее решение уравнений равновесия теории упругости берут в виде
(12 = *Ху--
1° - 1 — Т° • т •
ху* 1уг — 1уг’ 1гх '
и = [4(1 —v)B— grad (г ¦ В + ?„)],
(51)
где В, В0 — гармонический вектор и скаляр; \ п G — коэффициент Пуассона и модуль сдвига соответственно. Напряженное состояние в среде можно представить как сумму однородного напряженного состояния и напряженного состояния, вызванного наличием полости.
76
Концентрация напряжения около отверстий
Трехосное растяжение. В том случае, когда граничные условия имеют ид (49), напряженное состояние, вызванное наличием полости, опреде-яется гармоническими функциями [49]
где
В. = х
\
(Ро-е2) в\аа
ti<2) (р);
В, = г I
Ро-1
Во = (Ро + c\f ^24> (Р) [В1 (у2 — Z2) +
+ в2 (z2 — X2) + fi3j + Аъ [*V> (р) + #2ф<2> (р) + + ?4i3) (Р) — *2,Фо (Р)],
dk
k*A (к)
(52)
r|f ‘ (Р) = J
Р
ос
ф<4> (р) = J
dk
(X2 — е‘г) А (к)
; ф{3) (Р) - J (Х2 _
dk
(к2 — 1) Д (к)
dk
(к2+сг?А(к)
; A(k) = V(W-e*)(k*-l)
B1 = --±-[cl(2e2-l)+e*l; В2 =------L [с, (е2 + 1) + 2е*];
В3 = - -i- [2с, («* - е2 + 1) + е2 (1 + е2)]; сх = -^-(Ке4 — е2 + 1 — е2 — l).
(53)
Функции (/ = 1,2; j = 1, 2, 3, 4) выражают через эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода.
На рис. 65 показано изменение коэффициента концентрации напряжений в точке А (см. рис. 64) в зависимости от отношений осей эллипсоида прн аг = 1 на бесконечности, а на рис. 66 дана такая же зависимость в точке В.
При граничных условиях (49) в вершинах эллипсоида iXy, Туг* хгх равны нулю.
Напряженное состояние около эллипсоидальной полости 377
го
/8
16
/V
11
10
8
6
4<
г
Рг-У
Pi с
' . D У = 0,3
4j
1,5 о 6 0,7 0,8 0, 1.СГ
о о, г о, it 0,6 D . а h~ ь
Рис. 65
Чистый сдвиг. Если на бесконечности задано однородное поле чистого сдвига (50), то напряженное состояние, вызванное наличием полости, определяется гармоническими функциями [27]
D2—1 >
вх = (А + Л2) '/ф12) (Р) —^— *Vti3) (р);
Ро
В,=
Ро
Ро-
Ро
~7? (р) + (Cj + С2) (р);
Ро
—~ (р) + (^i + ^2) (Р);
где
So =¦ — Po^2*^1) (Р) ~ (ро — е2) С2(/гг)42) (р) — (РО — I) °2г^23) (Р)-
41} (p) = -^-W2)(p)-'Pi1> (р));
^22) (р) = г 1 ez W3) (р)—ф}2) (р)); ч43) (р) = 1|'13) (р)—¦ф}1’ (Р)-
(54)
(55)
378_________Концентрация напряжения около отверстий
Постоянные Alt А2> clt с2, Dг и D2 находятся из граничных условий. Коэффициенты концентрации напряжений в вершинах эллипсоида при чистом сдвиге на бесконечности (50) определяют по формулам: в точке А
Тлу/ = т xz — 0;
о I . р0 К~(е2 + 03 * Ы Г (1 - 2v) (р0-е'1) ..
3 (1 —V) (og—*=) L Ч-(е2 + 0
Г
X (ф<2> (р0) + Ф<3> (р0)) + (р2- е2) Ф<2> (р0)
в точке В
txy — iyz —. 0;
Ггх — т
.о f ро(2ро~0й(ро) Г (1~2v)(po~0
2Jt i 2 С1-V) (pg—1) [ 4~l
(ф<2> (p0) + ltf > (p0)) + (p2- 1) > (p0)
в точке С
%xy — Tjty { l -
tyz — izx — 0; 2 (1 — v) p„
(1—2v) p2
2P2-/2
X (uf> (p0)+’J={1) (P0)) +Р2Ф^> (p0)
I —1
(56)
(57)
(58)
где
(p) = -3-(ф- e)~E(ф- e)i;
i
$\2) (P) = e2(i Le2) \E (Ф. «) — О — e2> f (Ф- e)l -
_J______l/ P2-! .
— e2) p r p2 — e2 ’
(1— e2)p Г p2
^ (Ф. e) 1
1 — e2 1 — e2 p
(p) _ _ ?(Ф- g) . ?. J_ 1 / PiZ-gl.
*1 IP)— 1 _p2 ¦+• 1 ----------p2 n J/ p2 ------ 1 »
(59)
Литература
379
F{tр, е) = Г л=== 2
J V 1 —е2 sin2 if
о
? /---------------1 (59)
Е (<р, е) = \ VI — ё2 sin2 ifdif;
1 1
Ф = arcsm — • ib = arcsm ~r—. т Р л
При чистом сдвиге на бесконечности ох, ог равны нулю в верши-
нах эллипсоида.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бабаев М. А., Ц у р п а л И. А. Двухосное однородное напряженное состояние физически нелинейной пластинки с круговым отверстием. «Инженерный журнал». Т. V. Вып. 5. 1965.
