Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биргер И.А. -> "Прочность, устойчивость, колебания. Том 3" -> 98

Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.

Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 — М.: Машиностроение, 1968. — 568 c.
Скачать (прямая ссылка): prochnostustoychivostkolebaniyat31968.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 165 >> Следующая

описываются системой дифференциальных уравнений с перноди ческими
коэффициентами, то расчет областей неустойчивости при наличии
демпфирования усложняется. Некоторые приближенные методы указаны в книге
[71. Метод малого параметра дает для определения границ комбинационных
областей следующую приближенную формулу [28]: ___
здесь ц1к ведения уравнения
С ^-0^ + (?-M-Pcos"B)/ = C
к главным осям матрицы С~1 (? - аА). Из формулы (52) видно, что при
определенных условиях введение малого демпфирования может приводить к
расширению комбинационных областей неустойчивости. Аналогичное явление
было обнаружено в задачах устойчивости упругих систем, находящихся под
действием непотенциальных сил [81_
ВЛИЯНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В НЕВОЗМУЩЕННОМ СОСТОЯНИИ
Постановка задачи. Рассмотренные выше задачи параметрических колебаний
можно трактовать как задачи об устойчивое!и некоторых режимов
установившихся вынужденных колебаний. Поясним это на примере задач,
показанных на рис. I. В случае, показанном на рис. I, а, роль
невозмущеиного движения играют продольные колебания стержня, в случае
рис. I. 6 - радиальные колебания кольца, в случае I, в - колебания
пластинки ь своей плоскости и т. д. Однако весь- предыдущий анализ
базировался на предположении, что перемещения н ненозмущенном состоянии
пренебрежимо малы. Рассмотрим уточненную постановку задачи дли случая
упругого стержня, сжимаемого периодической продольной силой (рис. 3).
11усть и (х. /) - продольное перемещение точек; v (ж, /) - поперечное
перемещение точек, принадлежащих оси стержня; EF - жесткоеib сечения при
растяжении-сжатии. С учетом наиболее существенных нелинейных членов
уравнения совместных продольных и поперечных колебаний имеют вид [6. 7.
13]
дех , дги
-EFsi
Г-Г ^ г-. ( dv \ . V V r\ iKQk
-,:,7ы{>' м)+тЖ-0 ,63)
Через *х обозначена продольная деформация оси стержня, г. е. ди , 1
/ dv \
ди , 1 / dv у
366___________Параметрические колебания упругих систем
Решение уравнении (53) должно удовлетворять граничным условиям
v - = 0; - EFzx = Рп -f Ft cos Ш при x = 1
Исследование устойчивости. Уравнения (53) и граничные условия (54) будут
удовлетворены, если положить
и - иь + и, о= о0-г с. где и и v-малые возмущения, и линеаризируй
уравнение (53) относительно этих возмущений, придем к следующим
уравнениям в вариациях:
Уравнения (56) подробно исследованы в книге [7]. Важнейший результат,
относящийся к главной области параметрического резонанса, состоит в
следующем: помимо резонанса вблизи соотношения О = 2Q, возможно
возбуждение поперечных колебаний 6=а>/{<0/- часюта продольных колебаний).
Физическое истолкование результата. Вблизи 0 - со/ имеет место резонанс
продольных колебании, вследствие чего резко возрастает динамическая
продольная сила в стержне. Поэтому жесткость стержня по отношению к
поперечным колебаниям вблизи 0 - со/ является периодической функцией
времени с большой амплитудой изменения. Главные области параметрического
возбуждения при отсутствии демпфирования показаны на рис. 10. При больших
значениях коэффициента возбуждения р области сливаются.
Дальнейшие подробности можно наши в книге [7]. Там же рассмотрен и
уточненной настанонкс ряд других задач (параметрические колебания
криволинейных стержней, балок, рам, пластин и т. д.).
V = -уд- = и = 0 при х - 0.
:54)
d*v
^ vEF cos v/
Pt sin vx
cos М; vn{x, /)г=(): (55)
здесь
С
Решение (55) описывает установившиеся про-
Рнс. ю
м дольные колебания; это решение будем называть ненозмущенпым- Исследуем
устойчиношь этого решения. Полагая в уравнениях (53)
(56)
Учет нелинейнык факторов
367
УЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ФАКТОРОВ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ УПРУГИХ СИСТЕМ
Общие замечания. Рассмотрение параметрических колебаний в линейной
постановке позволяет найти границы областей неустойчивости и описать
поведение упругих систем н течение начального периода возбуждения
параметрических колебаний. Согласно линейной теории амплитуды
параметрических колебаний возраоают со временем но экспоненциальному
закону. Для того чтобы найтн амплитуды установившихся колебаний,
необходимо рассмотреть задачу в нелинейной постановке, удерживая в
уравнениях члены, которые обычно (например, при изучении вынужденных
колебаний) игнорируются.
Простейшая нелинейная задача. Нелинейные параметрические колебания
упругих систем рассматривались впервые в работах [4, 10] и позднее в
статьях (6,
1C, 25, 28, 29]. Приведем некоторые сведения, о (носящиеся к простейшей
задаче о колебаниях опертого стержня, сжатого периодической продольной
силой.
Пусть на подвижной опоре стержня (рис. II) имеется линейная упручая
связь, препятствующая продольным перемещениям, продольный ли нейный
демпфер и сосредоточенная масса. Полагая, что
И*. 0 = /(0 sta -.
получим, что колебания системы приближенно описываются нелинейным
дифференциальным уравнением
d-f df
+ + 1-
- 2 р. cosbt)f -
(57)
В уравнении (57) использованы те же обозначения, что и в уравнении (48);
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 165 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed