Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(38), называют основными областями 151; остальные области -
комбинационные. Последнее название подчеркивает тог факт, чю колебания
внутри этих областей осуществляются главным образом за счет
взаимодействия какой-либо пары форм колебаний. Это непосредственно
следует из формул (40) и (41), н которые в симметричной форме входят две
собственные частоты й/ и й*.. Аналогично можно говорить об основных и
комбинационных параметрических резонансах.
Метод построения границ основных областей неустойчивости |7|. Границы
областей, которым в формуле (38) отвечают зна юния п - = 1, 3 определяю"
из уравнения
? -a/4±i-()B i-O-C - -i-fC 0
? -пЛ-|-0SC -4-1'В о
0 -4-fi-B ?- U.4 - 4'oJCi
2 4
(42)
* Механическую систему с конечным числом степеней свободы иаэыв.кн | a-
jH.ibiuiioBoii. гели уравнен пи се движения могуг быть представлены в
кячо иичсской форме Гамильтона К ип-амильтоиоьым системам приходим,
иапри-Mip, рассматривая колебания сдержим, на"ру5ьекною следящими силами
18 I
362 Параметрические колебания упругих систем
Определитель, стоящий и левой части, следует понимать в гом смысле, что
на месте каждого его элемента стоит матрица порядка л, где п-число членов
ряда (II). Например, удерживая в определителе (42) одни лишь выписанные
члены, получим определитель порядка 3п. Границы главной области
неустойчивости (п ~ 1) в первом приближении могут быть найдены из
уравнения 17 ]
jf - аА ± Y&B--------^-е>с|=0. ,43)
Границы областей, которым в формуле (38) отвечают значения п -
= 2, 4 находят из уравнений, аналогичных выражению (42).
Эти уравнения неудобны для аналитических вычислений, поскольку их решение
требует развертывания определителей высокого порядка и отыскания корней
алгебраических уравнений высоких степеней. Эти операции, однако, не
представляют затруднений для электронных
цифровых машин.
Применение метода малого параметра. Для аналитических вычислений более
удобны формулы, основанные на методе малого параметра 121. 23].
Преобразуем vравнение (36) к главным осям матрицы СЧЕ- аА):
+ <V'/, + т, cos е< - О: (44)
здесь /\ ~~ преобразованный вектор /; матрица имеет вид
"а? 0 0
0 0
0 0
а матрицу Н вычисляют применением преобразования подобия к ма* трице
С'1В. Иначе,
И - и~'(Г1 В и, (45)
где U - матрица, составленная по столбцам из собственных векторов
матрицы С-1 (? - а А).
Ограничимся случаем п = 1. Если параметр [3 достаточно мал, то границы
главных областей неустойчивости могут быть найдены но формуле ]28]
e,=2Q, ± (46)
где h]k - элементы матрицы И. Границы комбинационных областей определяют
по формуле
#. = а, + а"± ¦&- УЩъ- ' ,471
Если диагональные элементы матрицы Н велики по сравнению
с побочными элементами, то ширина комбинационных областей неустойчивости
будет мала но сравнению с шириной главных областей.
Влияние демпфирования на области неустойчивости 363
Примером, |де это условие не выполнено, может служить задача об
устойчивости плоской формы изгиба (см. 354-355). Пусть в уравнениях (20)
и (22) М (/) - Р cos 06 Тогда уравнение (22) имеет вид (44), где С0 = С,
Н=С~'А =
GJм
/ <о
I
Ширина главных областей имеет в этом случае порядок р2. Границы
комбинационной области согласно формуле (47) определяют как
Г = (*>/М
где р* - критическое значение параметра для соответствующе* статической
задачи:
V EJ,OJk
ВЛИЯНИЕ ДЕМПФИРОВАНИЯ НА ГРАНИЦЫ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Уравнения для границ областей неустойчивости. Ограничимся простейшим
случаем уравнения Матье (26) с диссипативным членом
45-+ 2е45-+ ?32 (1 - 2,. cos01) =0; (48)
at- at
здесь е - коэффициент демпфирования. Области неустойчивости цо-прежнему
располагаются вблизи чааот, определяемых по формуле (27)-При п= 1, 3, . -
границы областей неустойчивости находят из уравнения 17]
902 4Й2
30 ' 2G
- И
1 + р - ¦
0г
4Q*
0
' 2Й
0
А 0
I - И
0-
4<!~
30 ¦ 2Й
90*
4<22
= 0 (49)
361
Паралктрические колебания упругих систем
При л = 2. 4, . , . следует пользоваться уравнением
П-тр- -f 0
¦ -? О
U 1
. -2р 1-^з-
д 20
д а
ди Д12 0
-и 0
0-
Д_ _Ь1_
л ' 12
Критические циачення коэффициента возбуждении. Наиболее суще-ci ненкык
факт состоят в кщ, что уравнение (48) имеет возрастающее решение тишь пзн
достаточно больших значениях параметра р. Так, дли главной оСласш
Неустойчивости из уравнения (49) получаем формулу
О*
*2Q
1 ±
(51)
где Д - декремент затухания собственных колебаний,
а
Из формулы (51) видно, чю витязи О -12 неустойчивость возможна лишь при и
р*. где pi: - - крта.чгск& .wwi j.e коэффициента eixtoij кх'енин.
Вообще можно локзм:ь [7 ), что для и-н оОласгн параметр" тес*л i
возбуждения критическое значение но порядку величины разно
Следовательно, демпфирование подавляет побочные иараметри четкие
резонансы тем сильнее, чем больше чшло п. Д'О показано на рш.. 1), где
построены облаем и ноустичнвосш для случая, кома Л --ОД.
Влияние перемещений в невозмущенном состоянии 365
Влияние демпфирования в общем случае. Если параметрические колебания
