Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биргер И.А. -> "Прочность, устойчивость, колебания. Том 3" -> 96

Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.

Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 — М.: Машиностроение, 1968. — 568 c.
Скачать (прямая ссылка): prochnostustoychivostkolebaniyat31968.djvu
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 165 >> Следующая

представляет полоса на плоскости параметров, которая соответствует малым
значениям параметра р. Границы областей неустойчивости для этой полосы
могут быть вычислены по формулам, вывод которых дается в книге [7]. Для
границ главной области неустойчивости 6* - 211 (29)
Области неустойчивости уравнения Матис Хилла 357
Более точные значения для частот 0, соответствую ни is границам главной
области, могут быть вычислены из уравнений, получаемые усечением
бесконечного определителя:
l±.u -J^rr - Р О
4<2J
I -
J3fi-
402
256-4 OJ'
Иа уравнения (30) могут быть найдены также границы побочных областей при
п = 3.5... . Границы побочных областей, которым н формуле (28)
соответствует п = 2, 4,. . могут быть найдены из уравнений
-I1
IliU-
Подробпее см. в книге 17j
Формулы, основанные на методе малою параметр.1. Если пзрлметр и в
уравнении (26) достаточно ч-м по срг.виеиню с едпницей, то для онре
деления гр::ппц областей неустойчивости может быть применен метод малого
параметра |i, 12, 15. 181 Этот метод приводит к формулам для определения
границ областей неустойчивости |15], которые собраны в I л блице В этой
таблице ее,, (т) ц ье"(х)-функции Мат ье целого порядка /г, где и - номер
облает неустойинвпгти. Чтобы перейти к уравнению is форме (26). пид* ж.л
о жить
^тг11- ,JI)
358 Параметрические колебания упругих систем
и иаэоо -иь^охэЛэн
И1ЭК1/90
Области неустойчивости уравнения Матье-Хилла
359
Из таблицы видно, что п-я область неустойчивости, где л ^ 1, имеет
относительную ширину порядка qn.
Диаграмма Стретта и соответствующие формулы из таблицы неудобны для
определения критических величин отношения частот поскольку это отношение
входит в оба параметра а и q. В последней графе таблицы даны приближенные
формулы для областей неустойчивости, решенные относительно частоты 0. Три
области неустойчивости показаны на рис. 8.
Области неустойчивости уравнения Хилла. Рассмотрим уравнение Хилла (25),
предполагая, что функция Ф (?) представлена в виде о,6
V
Ф(П - У) и*cos/:0/.
Границы первой, третьей и т. д. обла-
1 [ 1 4'N
I ' ^ ч
'"'•'•I 'S*4J


'¦nv<



стей неустойчивости определяют из урав- 0 0,1 0.2 0.3 Ofi р-
нения [7] Р"с. 8
~ (Рг ± Рз)
(1*1 ± Ра)
-11*" ± Из)
- (fii ± р4)
, 2501
*=*=**" ЩТ
= 0.
Для определения границ второй, четвертой и т. д. областей пеустой чиности
получаем аналогичное уравнение, которое здесь не выписываем. В первом
приближении получаем следующую формулу:
0. ¦= -f- V I ± Ц4 № = 1.2. . . .1 (321
Из этой формулы видно, чго ширина k-Й области в первую очередь зависит от
соответствующего коэффициента Фурье в разложении для Ф (/).
Границы областей неустойчивости для уравнения Xнлла могут быть найдены
также из уравнения 17, 17]
6(^L)+^№)I=2-
(33)
360___________Параметрические колебания упругих систем
>де h (/) и /2 (0 -- решения уравнения, удовлетворяющие следующим
начальным условиям:
fx (0) - I; f[ (0) = 0: f2 (0) = 0; f2 (О) = I
Уравнение (33) полезно, например, в случае, если функция меняется по
кусочно-постоянному закону (этот частный случай уравнения Хилла называют
иногда уравнением Мейсснера). Пусть
1, если 0 < / г
Ф0> -
Уравнение (331 принимает вид
I cos T?l соя -5?i- - ELjL-EL sln-^jp sin -Tfe-1 - о, (34)
j e e tpiPz 0 0 ' '
где обозначено
Pi. г = О V 1±2ц (35)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Классификация областей неустойчивости. Рассмотрим общее уравнение (16) в
матричной форме, положив для определенности, что Ф (t = cos 0*:
С-^ + (Е -"И-Р cos СКВ)/ 0 (36)
Можно показать, что областям неустойчивости принадлежат те точки в
пространстве параметров, для которых среди корней h уравнения 15, 7 ]
(ft*-46-) С+ +E-UA 0 0 4А0С
(Л*-В*> с+ +Е-аЛ 2А0С 0
D h*C-\E пА " 0
" - 2 А ОС (А*-**) С+ +E-UA -¦jfut
- 4МС и 0 -4- № (ft*-46*) С-I
+?-иЛ
Области неустойчивости для систем уравнений 361
найдется хотя бы один корень, обладающий положительной действительной
частью. Исследование уравнения (37) показывает, что области
неустойчивости матричного уравнения (36) располагаются вблизи частот
2?>/
в = (п = 1,2,. . . ); (38)
здесь й/ - частоты собственных колебаний системы, загруженной статической
нагрузкой с параметром а. Эти частоты определяют из уран-нении
| ? - иА - Й2С | - 0. (39)
Кроме того, уравнение (37) позволяет выделить две группы "подозрительных"
частот. Первую группу частот определяют по формуле
О - П/ ^ Qt- (/1 = 1,2,. . . ; а к). (40)
ваорую группу частот
е- а'~°" (" = 1.!. . .)/+". (41)
П
Из более строгого анализа выражений [И, 20, 21J следует, что в случае
гамильтоновых систем * области неустойчивости образуются лишь вблизи
частот, определяемых по формуле (40). Если система является
негамильтоновой, то возможны области неустойчивости, располагающиеся
вблизи второй группы частот.
Области неустойчивости, лежащие вблизи частот, соответствующих формуле
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 165 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed