Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
осторожностью.
ПРИМЕРЫ ВЫВОДА УРАВНЕНИИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Уравнение параметрических колебаний круглой пластннки, защем-ленной по
контуру и сжимаемой в срединной плоскости периодическими силами.
Уравнение изгибных колебаний для этой задачи (рис. 5) имеет вид
тла,- "!/> А- _0; (19)
j >,есь с (г, ф. /) - прогни пластинки; D - цилиндрическая местность; т -
масса, от несенная к единице члошдди срединной поверхности; q (/)--
иг!1Х'Исш1ность нагрузка. Решение уравнения (10) должно удон..етморить
граничным условиям
К' - ---------0 при г -- /?.
Следуя общей м TOjiiiKc, ищем приближенное решение в виде форм колебаний
ф,н" (г, ij), умноженных на некоторые функции времен.! /, (/). Ф(рпл
колебли л.ч Даются выражениями
Ф-.-т (г, i)
- [hi ('-•;.>iR) Iя (КшцГ) -•/" (/-ir..,tf) I (ХщоГ)! COS Лф (n 0. 1,2,..
),
354 Параметрические колебания упругих систем
- корни уравнения Мп(кй)
Р"(х") /"(х")|
Частоты собственных колебаний незагруженной пластаны находятся по формуле
о 1 '~D
Применяя вариационный метод I алеркина, сведем приближенно уравнение (19)
к последовательности обыкновенных дифференциальных уравнений типа (18):
44(tm) . г Г, <7(01 . _п /Ш -1, 2, ...
здесь qmn - приближенные значения критических параметров, опре дедяемые
по формуле
] j 'I'L <'• Т) г dr dy
Ятп - - р i
И
Лфтл (г, ф)фтп (Г, ф)#аг d'f
Эта задача была рассмотрена в статье 13].
Уравнения параметрических колебаний изгибаемой полосы. Приведем пример
задачи, которую Даже в первом приближении нельзя свести
к уравнениям типа (18). Пусть полоса узкого прямоугольного сечения
шарнирно оперта по концам и нагружена моментами М {(), действующими в
плоскости наибольшей жесткости (рис. б). Рассмотрим изгибно-крутильные
колебания, происходящие из плоскости наибольшей жесткости. Поперечный
прогиб и (г, t) и угол поворота <р (2. t) должны удовлетворять уравнениям
д*и . ял /л д2*? . ...
Области неустойчивчсти уравнения Матье-Хилла
355
где EJу - жесткость при изгибе из плоскости наибольшей жесткости. GJk -
жесткость при кручении; т - масса, отнесенная к единице длины; р -
полярный радиус инерции сеченая. Решение уравнений (20) должно
удовлетворять граничным условиям
fУги й2ф ..
к = ,р=-^=б? =0при г =
О и z = I.
Будем искать решение и виде
и (zt 0 = Un (/) sin П^г ;
Ф (г, 0 = Фч (0 sin (я = 1, 2, .. .),
(21)
где Un(l) и Ф" (0 - искомые функции времени.
Подставляя выражение (21) в уравнение (20), получим для каждого п систему
двух дифференциальных уравнений относительно (Jn (t) и Ф" (0- Запишем эту
систему в матричной форме, аналогичной выражению (16):
" "У.
~1фг + [Е-М(0А\/=П. При этом использованы обозначения
ч"
1
GJk
л2л3?У у 0
(22)
(23)
где ыпу и 0)Яф - парциальные частоты изгибных и крутильных собственных
колебаний соответственно. Эта задача была рассмотрена в книге [7].
Заметим, что диагональные элементы матрицы А равны нулю. Здесь мы имеем
случай, в некотором смысле противоположный особому случаю, который был
рассмотрен в § 2. В особом случае формы свободных колебаний и формы
статической потери устойчивости совпадаю г; в данной задаче эти "[юрмы
ортогональны между собой.
ОБЛАСТИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ-ХИЛЛА
Уравнение Матье-Хилла, Рассмотрим одно из дифференциальных уравнений
(18), опуская при этом индекс к. Введя обозначения
} - (о У I - * р =
2(а - а,)'
(24)
где а* - критическое значение параметра а, перепишем уравнение в виде
I S.= [ i - 2ЦЧ1 (0J / = о. (25)
356
Параметрические колебания упругих систем
Если функция Ф (Л является периодической, т. е. если Ч1 (< +-|L) = (r)(0.
то дифференциальное уравнение (25) называют уравнением Хилла. Частный
случай уравнения Хилла при ф = cos Gf называют уравнением Матье [15, 17].
Области неустойчивости уравнения Матье. Рассмотрим подробнее уравнение
Матье
+ Я2 (I - 2ц cos 4t)f = 0 (26)
В зависимости от соотношения между параметрами Q, G и р его решения могут
быть либо ограниченными во времени (периодическими или
квазипериодическимн). либо неограниченно возрастающими во времени.
Области в пространстве параметров, при которых уравнение Матье имеет
неограниченно возрастающее решение, называют областями неустойчивости. Па
рис. 7 представлено распределение областей неустойчивости для у равнения
Матье, затканного в виде
-L j (" _ Чц cos 2л), = П. 127)
В такой записи коэффициенты уравнения зависят от параметров а и q,
которые и отложены вдоль осей координат. Области неустойчивости
заштрихованы. Периодические решения на (рапице областей равны сел (х) и
sen (х) (функциям Матье порядка я) Эту диаграмму называют диаграммой
Стретта 117 J.
Возвращаясь к обозначениям, использованным в уравнении (25), видим, что
при малых р области неустойчивости располагаются вблизи линий, на которых
В, = т = I, 2. ,..). (28)
Область, которой в формуле (28) соответствует п - I. называют главной.
остальные - побочные.
Определение границ областей неустойчивости при малых р. С точки зрения
задач о параметрических колебаниях упругих систем наибольший интерес
