Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
кругового кольца. Допустим, что кольцо находится под деист-Рис 4 нпем
радиальной нагрузки интенсивностью
q(t), векторы которой остаются нормальными к деформирован нон ней кольца.
Рассмотрим колебания кольца в его плоскости (рис. 4). Если пренебречь
осевыми деформациями кольца, то получим следующее уравнение относительно
тангенциального перемещения v ("(>. /)
LJ / d*v r)4v
2л \ .*(/)/ <Р-' , tPv ' \,,"'Цд'а -Л
dcfa ) 1 К '.Лр* ¦ дц- , ) 1 лЧ )
Пирометрические ко.:--пания упругих систем
Подставляя сюда выражение
" (ф. О = Ik !0 5in k (ф - <р") (к = 2,3...),
удовлетворяющее условию периодичности по ф, получим дифференциальные
уравнения
+ = 0 (* = 2. 3, ...) (5)
относительно функций (0- Здесь со* и qk - соответствующие собственные
частоты и критические силы:
k (ft* -1) I [ 17 "..-EL да _ II
<¦>* - - V~ I ^WTT); qi - /е (* l)'
Эта задача была впервые рассмотрена Г. Ю. Джанелидзе и М. А. Рад-цигом
J12],
Понятие об "особом случае". Для некоторого класса задач исследование
параметрических колебаний может быть при '.едено к дифференциальным
уравнениям вида
ф + -1[!-^]ь-" №)
где со* - собственные частоты незагруженной системы; а *- собсизен-пые
значения задачи статической устойчивости для системы, загруженной
внешними силами и параметром а. Задачи, которые приводят к
дифференциальным уравнениям вида (6), относят к особому случаю [7]. Можно
показать, что особый случай имеет место лишь для тех упругих систем и
приложенных к ним нагрузок, для которых формы свободных колебаний и формы
статической потери устойчивости совпадают [о, 7. 13].
Если внешняя нагрузка меняется по гармоническому закону, то МОЖНО
положить
а (/) =а0 cos 6/.
Уравнение (6) будем записывать для этого случая в следующей стандартной
форме:
rfJr + fiHl-'2^cos(i/)(t О; (7)
здесь о)* - частоты свободных колебаний системы, загруженной статическими
силами с параметром а0;
l/1--^. (8)
Г "А
Через р* обозначены параметры, называемые коэффициентами возбуждения:
Дифференциальные уравнения (общий случай)_________351
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ
(ОБЩИЙ СЛУЧАЙ)
Приведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим общее уравнение параметрических колебаний упругой системы,
движение которой описывается скаляром или вектором - функцией и (xlt х2.
х3, t) координат х1г х8, х3 и времени к
/.1К1-^Ф(<)/ИМ + Л' [^-] =0; (10)
здесь L, М и N - некоторые линейные операторы; Ф (0 - некоторая функция
времени. Решение уравнения (10) ищем в форме
и fa, *2, t) = ]? fk (0 Фа (xlt х", х3), (II)
k=i
где Ф/j (х,, х2, хй) - формы свободных колебаний незагруженной системы.
удовлетворяющие уравнению
L Ы К] =о
и условию нормировки
(ЛЧфа]. Фа) = I"
здесь (ф, ф) - знак скалярного произведения в пространстве допустимых
функций. Например, в случае стержня длиной I
(<Г, ф) = f ф (х) ф (х) dx.
о
Подставляя ряд (II) в уравнение (10) и применяя вариационный метод
Галеркина, придем к системе, обыкновенных дифференциальных 1 равнений
1<"? [а-ФЮД "я#*] = ° 0=1.2....). (12)
Коэффициенты я/а определяют при этом по формуле
"ТА- V<A*W*I. У']- (13)
со?
Система уравнений (12) была впервые получена В. Н. Челомеем f 18].
Некоторые другие способы вывода уравнений типа (12) рассмотрены в статье
[5] и книге [7]-
352 Параметрические колебания упругих систем
Матричная форма записи уравнений. Пусть число членов ряда (II) ограничено
н равно v. Вводя матрицу-столбец / и матрицы С и А
J
"11 "12 "1\
"21 U :i а,у
_f*VI "V2 оЧУ J
запишем систему (12) в матричной форме d*f
(14)
где Е - единичная матрица.
В несколько более общем случае, когда на систему действует постоянная
параметрическая нагрузка с параметром а и переменная параметрическая
нагрузка с параметром Р. исходное уравнение записывается в виде
1[и|+оЛ1"М-. РФ")Д!,|,,]+,У ] =0.
Выпишем эквивалентную систему обыкновенных дифференциальных у равнений
drfj_
dP
Й- + М- Г,-и Е Е b.kik -=0; (1-Ч
I А-1 А-1 J
здесь обозначено о,м
-Ц- (Mu ф/): Ьр{ ^ -Кг {AU [ф*}2 ф;).
Запишем уравнение (15) в матричной форме:
"/<*
4- [Е - "А - (ЗФ (t) BI / 0;
(16)
здесь В - квадратная матрица с элементами Ь^.
Примеры уравнений параметрических колебаний
Приближенные уравнения параметрических колебаний упругих систем. Если
диагональные элементы матриц А и В достаточно велики п"сравнению с
недиагонадьными элементами, то в первом приближении ¦ .1 с тему (15) мол
чо заманить последовательностью независимых уран-.vinia
d4k
Элементы 'ik 1 t>kk легко ныражаются через приближенные (в смысле
энергетического метода) значения критических параметров и В*. А именно:
ahh = V (Л1о (Ф*1 ¦ ФЛ> " - J bkk = -
0-f ct,{
Учи!Ь'"ая эти соотношения, приведем уравнения (17) к виду [7, 18)
^Ил-0(* = 1- 2 - >- ,,е)
Эти \p-iH кин и но существу совпадают с уравнен и ими особого случая
(6).' Ест неднаголалыше элементы матриц А и В не малы по сравнению с
главны ш. то приближенными уравнениями (18) следует пользоваться с
