Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биргер И.А. -> "Прочность, устойчивость, колебания. Том 3" -> 93

Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.

Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 — М.: Машиностроение, 1968. — 568 c.
Скачать (прямая ссылка): prochnostustoychivostkolebaniyat31968.djvu
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 165 >> Следующая

параметрических колебаний в механике
Рис. 1
являются колебания маятника, возбуждаемые периодическим перемеще ином
точки подвеса в направлении силы тяжести.
Параметрические колебания упругих систем, связанные с задачами упругой
устойчивости. Задачей этого типа является, например, задача о колебаниях
прямолинейного стержня, на который действует периодическая продольная
сила (рис. I, о). Если амплитуда этой силы достаточно мала, то следует
ожидать, что стержень будет испытывать только продольные колебания.
Однако оказывается, что при определенных соотношениях между частотой
свободных изгибных колебаний ю и частотой вынужденных колебаний б
прямолинейная форма равновесия оказывается неустойчивой. Возникают
изгибиые колебания, амплитуда которых может быстро возрасти до больших
значений. Соотношение частот, при котором наступает этот параметрический
резонанс, отличается от соотношения частот при резонансе вынужденных
колебаний. Если амплитуда продольной силы достаточно мала, то это
соотношение имеет вид б :" 2to.
348 Параметрические колебания упругих систем
Можно привести много примеров этого тина. Так. круговое кольцо,
нагруженное равномерно распределенной радиальной нагрузкой, периодически
меняющейся но времени (рис. I, б), при определенном соотношении частот
может испытывать интенсивные изгибные колебания. Периодические силы,
действующие в срединной плоскости пластинки (рис- I, в), при определенных
условиях могут вызвать интенсивные поперечные колебания. Периодические
силы, действующие на балку узкого поперечного сечения в плоскости ее
наибольшей жесткости (рис. I. а), при определенных условиях могут вызвать
иэгибно-крутильные колебания из этой плоскости.
Перечисленные задачи рассматриваются в теории динамической устойчивости
упругих систем !7. 24]. Для всех этих задач общим
Рис. 2
является то, что причиной колебаний является периодическое изменение
внешних сил такого нида, что. будучи приложены статически, они могут
вызвать статическую потерю устойчивости равновесия упругой системы. Такие
силы будем называть параметрическими. Периодическое изменение
параметрических сил вызывает периодическое изменение жесткости системы по
отношению к другим силам.
Некоторые другие классы параметрических колебании упругих систем.
Параметрические колебания встречаются также при изучении динамики валов,
роторов и более сложных механизмов [7]. Так. паи, сечение которого имеет
неодинаковые главные жесткости, может испытывать интенсивные поперечные
колебания даже в том случае, если он полностью уравновешен и если его ось
параллельна ускорению сил тяжести (рис. 2, о). Непосредственной причиной
возбуждения колебаний в этом случае является периодическое изменение
жесткости во времени. Эти колебания можно трактовать н как параметрически
возбуждаемые колебания, и как автоколебания. В неподвижной системе
координат поведение вала списывается, как в других параметрических
задачах, дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами.
Если использовать систему координат, вращающуюся вместе с валом, то
получим дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Более
четким в классификационном отношении примером может служить вал,
совершающий поперечные колебания лишь в одной плоскости (рис. 2, б).
Примером системы, в которой периодически меняется некоторая приведенная
масса, может служить шатунно-крн-воиишный механизм (рис. 2, в). Жесткость
периодически меняется в механизме спарниковой передачи в локомотивах
(рис. 2, г). Подробнее см. работы [I, 7, 8, 22].
Дифференциальные уравнения (особый случай)__________349
В этой главе мы ограничимся рассмотрением колебаний упругих систем,
возбуждаемых параметрическими силами, которые меняются во времени по
периодическому закону. Однако, используя математическую аналогию, можно
многие результаты распространить и иа другие задачи параметрических
колебаний.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ
(ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ)
Дифференциальное уравнение параметрических колебаний упругого стержня,
опертого по концам и сжатого силой Р (/) (рис. 3). Пренебрегая
продольным'.! колебаниями, найдем, что в линейном приближении изгибные
колебании описываются уравнением d2v
1 m~dtr =0; (|)
дх4
дх2
здесь LJ - изгибная жесткость; т - масса стержня, приходящаяся на единицу
длины. Граничные условия будут удовлетворены, если положить
fe^TV
у (*, 0 = /а (/) sin (ft = 1,2, . . .), (2)
где /а (0 - искомые функции времени Подстановка п уравнение (I) приводит
к следующим обыкновенным дифференциальным уравнениям относительно функций
и </>:
djt
dP
-?&h-
р* }'
О ("г =• I, 2. . .
(3)
Рис- 3
В уравнениях (3) введены обозначения для собственных частот
незагруженного стержня (1>а и для соответствующие критических (эйлеровых)
сил Pk.
i i<P ел* . ej
"* - I
Рь
/гл'/Л
т
Эта задача была нпервые рассмотрена II. М. Беляевым (2].
Дифференциальное уравнение задачи о па ра метрических колебаниях
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 165 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed