Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биргер И.А. -> "Прочность, устойчивость, колебания. Том 3" -> 9

Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.

Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 — М.: Машиностроение, 1968. — 568 c.
Скачать (прямая ссылка): prochnostustoychivostkolebaniyat31968.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 165 >> Следующая

ступенчатым изменением жесткости при про дольной ежи*
h 3? Зр
"""'I

а) Ьп-1 6) -J
Рис. з
мающей нагрузке, изменяющейся вдоль осп стержня по линейному закону
симметрично относительно середины пролета. Критическую нагрузку
определяют по формуле
Упругие стержни на ласт как опорах
23
10. Значения коэффициента 1] для стержня, показанного на рис. 4, а
Jl J Число участков с МОУСНТ.1МИ 111 .¦элн'шиме ер щит
* 1" 4 5 10
5,2В j 6.32 6.48 7,32 7.40
(.4 Й.В8 i 10,'! 11.1 11,2 11,2
14,0 11. h 14.7 11,76 14.8
0.8 17.4 17.8 17,8 17,9 18,0
1.0 20.5 J 20.5 20,1 20,5 20,1
11. Значения коэффициента t) для стержня показанного
Л J Число участков с различными моментами инерции
2 8 4
0,2 18,1 21,8 22,8
0,4 31,2 34,2 34,3
0,6 41.0 42.4 42,4
0.8 49,4 49,5 49,5
1,0 54,8 54,8 54,8
В таблицах через J н 7, обозначены coo me ici вемно наибольшее и
наименьшее значении момента инерции поперечного сечения. Принято, чтоб
пределах пролета имейся несколько участсв равной длины, причем разности
между моментами инерции днух соседних участнон одинаковы.
Стержни с непрерывным изменением жесткости В слу чаях непрерывного
изменения жесткости поперечных сечений стержня основное двфференциадь-
not* уравнение (J) становится уравнением с перемен"") ми коэффициенте'мн.
11р!I чкш ниreipiipyi Lie взамкнутой форме случаи составляют редкое
исключение (см. ниже табл. 12 и далее); как правило, для определения
критических нагрузок приходится пользоваться приближенными способами. Из
глкнх сиособин особенно часто применяют энергетическим метод.
Согласно энергетическому методу критическое состояние определяется
равенством U - W - 0, в котором U - потенциальная энергия изгиба,
соответствующая изогнутой форме оси стержня; ft' - работа заданных
внешних сжимающих сил на перемещениях, определяющих переход из основной
формы равновесия в смежную (возмущенную) форму равновесия. Для одно
пролетного стержня выражения U и W наеют вид
(21)
(22)
причем функцией v ~ v (а), определяющей изогнутую форму оси с I ер жни,
з.вчикнея заранее с учеюм тех или иных конкреигых граннч-иых условий.
24
Устойчивее пь стержней
В простейшем парна те энергетического метода (метод Рэлея) форма изгиба
задается с точностью до одного неопределенного параметра, представляющего
собой масштаб кривой (значение этого параметра несущественно для
окончательных результатов); соответственно формула Рэлея имеет вид
/ /
' d*u
р~=1а(&УЧ(?)'
Пример 4. Определим критическую силу для однопролетного шарнирно опертого
сжатого стержня, поперечное сечение которого имеет переменный момент
инерции
(Уи - момент инерции среднего сечения стержня). Принимая в качестве
кривой изгиба функцию
j И.Л.а. Л!-)*--
и знаменатель той же формулы
/. л Яг \2 . л* "
Я'
отсюда находим критическую силу
вл FJC
Вместо выражения (21) для определения потенциальной энергии можно
воспользоваться выражением
.">
о
(способ Тимошенко). Для однопролегною стержня, нагруженного на конце
сжимающей силой Р,
М - - Pv, и формула Тимошенко принимает вид
Упругие стержни на жестких спорах
25
Пример 8. Определим критическую силу для условий предыдущею примера с
помощью формулы Тимошенко.
Числитель в формуле (25)
Я
о
JB. \2 "'<*
Знаменатель в той же формуле находим в виде I
1 Гм 1 (tm)
Ж}'
ж 1 Чиж-
О
отсюда находим критическую силу
Р , п*Е!"
"Р 41* •
Важное значение имеет теорема Рэлея, согласно которой полученные по
формулам (23) или (25) результаты всегда выше истинного значения
критической силы (при условии, что принятая форма изгиба удовлетворяет
всем геометрическим граничным условиям задачи). Поэтому из нескольких
результатов, полученных путем использования различных функций у (г),
ближе к истинному наименьший. Метод Ритца дает возможность получать
уточненные решения с любой желательной степенью точности. Согласно этому
методу кривую изгиба оси стержня задают ь виде суммы ряда функций, каждая
из которых удовлетворяет пссм граничным условиям задачи, и вводят в
выражение изогнутой осп с неопределенным множителем
ч = /iI'i (г) 4-/,о2 (г) J----'rl"IV, (г). (26)
Выражение (26) подставляют в формулу полной потенциальной энергии стержня
*-4-М?)г*--И(?)г
(27)
и уравнение для определения критической силы получают из условии
дЭ - (28)
Притер в. Определим методом Ритца критическую силу для консольного
стержня постоянного сечения, нагруженного на свободном конце сжимающей
силой (пример поясняет применение метода Ритца. которым можно
пользоваться и D случае переменного сечения).
3 >даемся формой изгиба оси
о " /гг* + /*г*-
!1сэгвнсцмо от значений параметров /, и Г, каждый из членов этого
выражения удовлетворяет геометрическим граничным условиям, т. с. условиям
п.: д.оцемлеююм конце
о=0. o' = О при 7 -= 0.
Составляем выражение полной знершн (27):
т-(4 <: >4'-
26
У/ тои-мвость стержней
" , 6Э дэ
Ооразуя затем обе частные производные ~^г- и -- и приравнивая их Of 1
W:
нулю, придем к следую цвй однородной системе двух алгебраических
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 165 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed