Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для нормирования первой собственной формы по условию (104) имеем
,иИи _1","2i421 =1'
24,,
А,,
- с>618 Y7T, 1
подставляя сюда - - * - 1,62 и т,= т2. находим
1
Я", - -==-
Для нормирования второй собственной формы по условию (164) имеем тп\А\2 Y
т.уЛ^2 - 1.
и так как =" - 0.618, то
Л),
_ 1.27 _ 0.785
\'т ' j"m *
Влияние инерции вращения твердых тел иа собственные частоты одно- и
многомассовых систем. Если входящие в упругую систему массы обладают
значительной инерцией вращения, то остаются справедливыми
дифференциальные уравнения свободных колебаний (148) и (150),
Колебания ем тем с несколькими степенями свободы 279
однако под yi следует подразумевать не только линейные перемещения, по и
углы поворота, а под щ как массы тел. так и соответствующие моменты
инерции. Учет последних приводит к увеличению числа степеней свободы
системы, при этом низшая собственная частота уменьшается и обнаруживаются
дополнительные (более высокие) собственные частоты.
Пример *". Определить собственные частоты и собственные формы колеба ний
консольного стержня с грузом на конце (схема 9 табл. 6).
Обозначения. I - длина стержня. EJ - нзгнбная жесткость; т - масса груза,
р - радиус инерции груза относительно его центра тяжести; у, - линейное
смещение центра тяжести груза; уг - его угол поворота (рис. 30, с).
Пчеле подстановки этого решения в дифференциальные уравнения движении
получаем
Рис. 30
Дифференциальные уравнения (150) имеют вид Pi + rny$xt +
У г + туАп +*яр*уАа =°-
Единичные перемещения S//j в данном случае будут (рис. 30. б)
Частное решение (157):
*1* = ai*sin (рк* + **); учk- ачьsln (Pk* + *k).
alk~ ma4?\\pk " m|>"ft2ftei2p* - 0: °lk - (tm),lfc621*,A -"|P2"2A°23?k =V:
(171)
280
Основы теории колебаний механических систем
отсюда следует частотное уравнение
1-,н6 np|
ч 2 '> о =0.
-"W f>2lpk 1 ~ m{,^22pk
соответствующее равенству (160J.
Подставляя в частотное уравнение указанные выше выражения единичных
перемещен ни, и аходи м
2 6EJ /, . V1 1 /-"/* , I*
Р>.2"(1+3^'- V 'ёрГ 'зрГ + /
Отсюда следуют приближенные (для I р) выражения для собственных частот
колебаний
2 3EJ j , 3ps I 1 AEJ /" , 4/* I
'>2"^75-(з+-5гг).
Для определения собственных форм можно воспользоваться любым на уравнений
(171) Так, из первого уравнения находим
1 -
"*\А
после нодстаионки найденных собственных частот получаем Aat _ I flg8
_ _ 21 _
At/* -Jp*- ~ 3p* 1
эти формы показаны на рис. 30, е
Влияние вязкого сопротивления на свободные колебания. Если механическая
система содержит s элементов вязкого трения, направления
действия которых j = 1, 2 s, то дифференциальные уравнения
движения системы в обратной форме имеют вид
</.-+ ? rnk()kblk-\- J] k,qfiu - О, (172)
*=] • -1
где к/- коэффициент сопротивления г-го элемента трения.
Если каждое из направлений j совпадает с каким-либо из направлений к (т.
е. если нее элементы трения присоединены к массам системы), то число
уравнений (172) равно п. Если же имеются такие элемент трения, которые
создают силу сопротивления, не приложенную непосредственно ии к одной из
масс системы, то уравнение (172) следует составлять также для направлений
действия этих сил, при эюм каждый из таких элементов трения увеличивает
число степеней свободы системы на 1/2 (см. табл. 7).
Решение системы дифференциальных уравнений движения (172) обнаруживает
затухающий характер колебательного процесса системы, но при умеренном
демпфировании частоты колебаний незначительно отличаются от собственных
частот недемпфированной системы.
Как правило, дифференциальные уравнения движения не допускают разделения
иа независимые уравнения для каждой из собственных форм. 1акос разделение
становится возможным лишь в некоторых особенных
Колебания систем с несколькими степенями свободы
281
случаях (например, если каждый упругий элемент системы является
одновременно носителем вязких свойств, причем -отношение коэффициента
жесткости и коэффициентов вязкости одинаково для всех таких элементов
системы).
Вынужденные колебания
Формы дифференциальных уравнении движения. В общем случае, когда заданы
возмущающие силы
Pi = Pi (О; Рг = Ра (*); • • - ; Рп -Рп (*), (173)
действующие по направлениям *= I, 2, .... л, дифференциальные уравнения
движения имею г вид
(174)
(прямая форма) или
yi -г Ц tom&k - ? ь'Ьр><{t) I175)
*=i *-1
(обратная форма).
Решение дифференциальных уравнений движения. Решение системы (174) (или
системы (175)) можно представить в виде разложения по собственным формам
/I
У1 ^ ? OikQk (/)"
ft 1
у* - ?
1.176)
Ш - ? QiikQk (О*
*=1
где aik - амплитуды нормированных собственных форм колебании [при условии
нормирования (164)}, а функции qk {*) определяют из системы
дифференциальных уравнений
п
+р\чI = Е °/Л (1):
А^1
П
ft-i 1.177)
Чп I fan = i').
282___________Основы теории колебаний механических систем
где р,. р2, . . рп - собственные частоты. Способы решения уравнений (177)
при любом виде правых частей см. стр. 245-250.
