Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
0у, <" 1 002 /
ОТ дт дП
0&1 - 0; -- =0; о у ! 0У\ = Oi/l
В данном случае (так же, как и вообще для веек систем цепного вида) эти
дифференциальные уравнения движения удобно составлять путем
непосредственного определения упругих сил. действующих иа каждую из масс:
дг, = _ Clyt -f cs (г/s - у,):
= -с, (уг - |/i),
без предварительного нахождения коэффициентов г^. Определив силы IV,, NI,
можно сразу записать дифференциальные уравнения движения.
т ,у, = N О
т&, = N j.
совпадающие с дифференциальными уравненинми (152).
С н о с о б 3 (обратная форма) Единичные перемещения
я I , . I А 1 , 1
6,,=--; 6IS = б21 = --. 62г = --
Дифференциальные уравнения (150):
УI + т/у, = 0;
V. + т,*', j-±- + -L|_
Системы дифференциальных уравнений (151) и (153) эквивалентны.
Колебания систем с несколькими степенями свободы
275
В принципе всегда можно найти такие обобщенные координаты Si- ¦ ¦ ¦. бл.
связанные с координатами glt q2, - . q,j линейными соотношениями
Ял -
lh -
k-\
Qn = J] bnb$k.
k-l
(154)
чтобы выражения кинетической и потенциальной энергии были приведены к
суммам квадратов
=4- Е &
(155)
При этом дифференциальные уравнения движения приобретают особенно простую
форму
1 + U.=0;
62 -I- = 0;
In + " о. j
(156)
Координаты называют нормальными координатами.
Составление частотного уравнения. Эквивалентные одна другой системы
дифференциальных уравнений (142), (145) или (147) имеют частные решения:
q\-Alt sin (р,,<+%);
"i = A*sln (рл< + ч*);
(157)
описывающие гармонические колебания с частотой р/,. Для определения pk
служит уравнение частот, форма которого зависит от способа.
276___________Основы теории колебаний механических систем
избранного для составления дифференциальных уравнений движения:
при использовании уравнений Лагранжа
(158)
йцр2-?ц; а1 аР3 С12, - - i а1Прг ~с1п
О'яР' •-С21; аггРг ьяг" - • - • ПР2 Cjfl
ОщР" - Сщ\ @пгР'г C/i2> - - -• OfltlP2 - (fin
при использовании прямой формы
(tm)iP- - '11; 'lgi ¦ rm
-'и; /ЯаР2 - гш; . . .; -r",
ГП1, - '"г" ¦ • ¦; mnp* - rnn
при использовании обратной формы
I - "zAiP2: -/п2б12ра; . . .; - т"Ьтрг
- я* Ai Р2; 1-/я2б22р-; - mn 62np3
- т,ЬП1рг; -/"iAtzP2; .. 1 W-tfinnP*
(159)
= 0. (160)
Все корни р\, pg, . . рп частотного уравнения вещественны и не-от рицател
ьны -
Собственные формы. Каждому значению р\ соответствует система соотношений
между амплитудами
Аък . A-sk . Ank
Aik ' Aik 1 1
(I6J)
определяющая собственную форму колебаний. Эти соотношения получают из
дифференциальных уравнений движения, если в них подставить частные
решения (157). Так, при прямом способе составления уравнений задачи из
выражений (148) и (157) получаем
Ь.
- 0 (S, i - I, 2, . . п).
(К
Среди п уравнений (162) независимыми являются только п - 1 уравнений:
последние и определяют систему соотношений (161).
Собственная форма характеризует лишь конфигурацию механиче ской системы
при ее мокогармонических колебаниях и масштаб для перемещении может быть
выбран произвольно. Иногда бывает удобным придать полную определенность
каждой из собственных форм колеба-
Колебания систем с несколькими степенями свободы
27 7
нии. Для этого пользуются тем или иным условием нормирования; в
частности, применяют какое-либо из следующих условий:
Aik= I (fc - 1, 2........л); (163)
Sm(4 = l =1,2.. ..л); (154)
<=[
п п
5] - 2 mt (k 1, 2,,.л) (165)
1=1 г=1
Значения удовлетворяющие условиям нормирования, "иже
обозначены
Любые две различные собственные формы колебаний ортогональны одна к
друюй:
jmjiV'""О и ф *0 (166)
i-1
Сби^е решение системы дифференциальных уравнений движения про г являет
собой сумму частных решений (157):
41 = Е Aik bin (Р^ I • <tk) (" = 1, 2......л), (167)
А-1
которая может быть также представлена в виде
п
Ш - Е ак^к sin (Pirf + V*) (* - 1. 2.........n). <168)
где аг/< - амплитуды нормированной собственной формы; <?.}< и ць -
постоя(шые, определяемые начальными условиями;
4i (0) ~ Qin- 4i (0) - 9mi
Q'z (0) - 420' 4^ (0) = 4-го' (169)
4п (0) 4>7о> 4п (0) - 4по-
При произвольно заданных начальных условиях осуществляется
гшигармонический колебательный процесс (167) или (168). При специальном
выборе начальных условий могут быть реализованы в чистом виде
моносармонтеские колебания (157) с общей частотой р*. Такие колебания
называют главными.
Пример Ь. Определить собственные частоты и собственные формы колеба-III
ii системы, показанной на рис 29.
Частное уравнение в форме (159) будет
278__________Основы теории колебаний механических систем
, = if_?i. + ?i±?!.U1/'> |'-?>-+?т?>у__!Т?.
' \ тг т, j - I/ 4 I я?а m, J /nt"l
Pi
Если, например, Ci ~ fj И
Уг р\п - *-(3± У" б) -
Г '
.оичательно
р, =0,618 У -pj- Рис. 29 ' ' "• 11'Г';,
- (tm) "и". -рКч + Ли ~ r2'12s] ^ "¦ ] при t *= 2 *
I
-m'1iSP2S+[-'-2'4I" + ''2A25]-"-Первое из этих уравнений даст
1пр\
~A77 = i ~ '
е. собственные формы колесаинЯ определи ки е" с
Те же результаты можно найти и из второго уравнения (170).
