Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биргер И.А. -> "Прочность, устойчивость, колебания. Том 3" -> 72

Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.

Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 — М.: Машиностроение, 1968. — 568 c.
Скачать (прямая ссылка): prochnostustoychivostkolebaniyat31968.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 165 >> Следующая

и строим первый участок фазовой траектории до точки С,, которой
соответствует v,^0,08 (рис 28, я). Дллсс вычисляем 6, --=0,015; из нового
центра проведена втора и дуга до точки С*, в которой v=*0.07 и т. д.
Фазовая траектория в целом показана на рис. 29, б и обозначена цифрой 11;
она представляет собой свертывающуюся спираль. Другая фазовая траектория,
начинающаяся в точке О, 0,045 нн-тяется развертывающейся спиралью к
обозначена цифрой /. Фазе ные траектории типа I и 11 неограниченно
приближаются к замкнутой траектории А, являющейся предельным циклом. По
кривой А находим максимальное и минимальное отклонения системы 0.06 см, -
0,05 см.
Полуразмах колебаний составляет 0,055 см Тпо формуле (131) в этом случае
получается а- 0,064 см ]
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Свободные колебания
Формы дифференциальных уравнений движения. Наиболее общей формой
дифференциальных уравнений движения являются уравнения Лагранжа
(t = l' 2' ¦¦¦• п>- (l38i
аг \ дць / di}k
в которых 1 - время; </* - обобщенные координа1Ы; п - число степеней
свободы; Т - кинетическая энергия системы, Qk - обобщенные силы.
Кинетическая энергия является квадратичной функцией обобщенных скоростей
Т.
2
OikQtqk (С fc - 1, 2.
л).
(139)
272 Основы теории колебаний механических систем
Числа aik - Uki называют инерционными коэффициентами.
В задачах о свободных колебаниях упругих систем без демпфирования
обобщенные силы Qk выражают через потенциальную энергию П системы
дП
(к = 1, 2...................л):
(140)
причем потенциальная энергия системы /7 =
? и.к= 1,2.....п)
. t- 1
(141)
является квадратичной функцией обобщенных координат. Числа Qk - cki
называют упругими коэффициентами. Соответственно дифференциальные
уравнения движения (138) принимают вид
auQi + aizQi ~r • ¦ * -i- а\пЧп =
= C'n4i Ciatfa * *' cinqn\
+ "ijii +----------1 =
= - &i?i- b2ik c,nq"\ (144
"ml, + "nvh ¦ --------1 amii"
= -Cn\lh - ca-/h - * * * - СнпЦп*
Простым линейным преобразованием координат одну из квадратичных форм -
кинетическую или потенциальную энергию - можно привести к сумме
квадратов.
Если к сумме квадратов приведена кинетическая энергия, т. е.
г=4- ? wb
(143)
(144)
то система (142) переходит в систему дифференциальных уравнений,
разрешенных относ и i ель ко обобщенных ускорений:
°><h - си Ял c\z(h * • * - cm(hi'i
ачЧч - c"iQ\ c-i'iQz * * ¦ - счпЯп\
ЯпЯп - cmQi - спгЧъ - * * • - СппЯп-
(145)
Колебания tut тем с несколькими степенями свободы
273
Это прямая форма дифференциальных уравнений колебаний. Если в сумме
квадратов приведена потенциальная энергия, т. е.
то система (142) переходит в систему уравнений, разрешенных относительно
обобщенных координат:
и представляет собой обратную форму дифференциальных уравнений колебаний.
К прямой форме дифференциальных уравнений движения можно прийти,
непосредственно пользуясь вторым законом Ньютона для выделенных из
системы материальных точек; выражая силы упругости через перемещения,
можно записать
/де rnt - /.-я сосредоточенная масса; уе - ее перемещение; - единичная
реакция (понятие, используемое в методе перемещений). Если кроме
сосредоточенных масс механическая система включает в себя также твердые
тела, то утлы поворота этих тел также можно обозначить через ус, в этих
случаях под понимают моменты инерции относительно осей, вокруг которых
происходят повороты у и Суммы, находящиеся в каждом из уравнений (148),
представляют собой взятые с обратным знаком силы, действующие на каждую
массу гщ, во многих задачах эти силы легко определяют непосредственно,
без вычислений г,-*, как это можно проследить на примере 7.
Обратную форму дифференциальных уравнений можно также полу-чип"
непосредственно из линейных соотношений строительной механики
записываемых для бсзмассового упругого каркаса системы. Здесь б,*. -
единичное перемещение (понятие, используемое в методе сил); Fy - сила,
действующая по fc-му направлению.
иия (149) получаем следующую систему дифференциальных уравнений движения*
/7 = 4"2j
(146)
ciQi - - auqt о12<72 - - oinq";
(147)
cnQri amQi an-i{h * * * аппЧп
(148)
Ш = Y Й'л/Г<! H = 1.2. , n).
(149)
k -l
В задачах о свободных колебаниях Е* =-тру^ и из соотниие-
274 Основы теории колебаний механических систем
Пример 7. Рассчитать систему, показанную на рис. 29, трем и способами,
здесь т, п т2 - массы грузом, с, и с2 - коэффициенты жесткости упругих
связей; yt я у2 - перемещения грузов от положения равновесия
С п и с о б I (использование формы уравнений Лагранжа) Кинетическая и
потенциальная энергия
_ "Vl т2^2 . clvJ с'2 (*2 "
о + о ' ~ 9 + о
=
¦ "'si/*:
ОУ*
Дифференциальные уравнения (1Й8),
(tm)il/i + Ci!H - (!/* - p,j = 0;
nizi's + C* (4'Z - {/,) =0.
Способ 2 (прямая форма) Единичные реакции
Сц - С|+"*; 'is - г а -- с2> тгг=с4. Дифференциальные уравнении (148);
"Ы/г + (г| + С2) yt - di/t = 0. |
- Csll i + C2*/s =0. j
дТ - т,/л; d ( _?L\-
Оу, А ( dy'i j
ОТ = m2yt: _2L.'i =
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 165 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed