Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
начальных условиях.
Дифференциальное уравнение возмущенного движения имеет вид
ту + ЛR (о0. у) Н- су =0; (125)
_ _ здесь перемещение у отечты-
Д [\ Т\ вают от невозмущенного уровня.
Ц \ I \ I - т. е. от положения равновесия
A I \ I 1 схем / и 2 табл. 19 или от дви-
- ;--------------- т'" ( Гл. жхщегося со скоростью на-
/>)",," уитойдии ЕймМми. ,|а'ла к00рди11ат для схем'н
Рис. 24 табл. 19.
В уравнении (125) разность АЛ (с'о, y)=R (t'o)-Л (о'0-г/) представляет
собой приращение силы трения, возникающее из-за изменения скорости
скольжения; на падающем участке характеристики эта разность отрицательна
("отрицательное" демпфирование, способствующее раскачке колебаний).
Точное решение уравнения (119), как правило, затруднительно.
Для упрощения решения в зависимости от параметров системы пользуются
одним из двух приближенных способов.
1. При весьма крутом падении характеристики трения и значшель-иой
жесткости упругой связи в уравнении (119) можно пренебречь инерционным
слагаемым, т. е. рассматривать вырожденную без-массовую систему и решать
дифференциальное уравнение первого порядка
к (='") - К (t'o -
-И) + су = 0. (126)
Закон автоколебания такой системы существенно отличается ' '
от гармонического, и возможны интервалы полного сцепления (отсутствия
скольжения, рис. 25); такие автоколебания называют разрывными (из-за
разрывов скорости), или релаксационными.
2. При умеренно крутом падении характеристики и упругой
связи
небольшой жесткости принимают, что автоколебания носят гармониче-
ский характер и происходят с частотой р свободных колебаний той же
системы (но без трения)
у- a cos pt. (127)
13 этом случае систему называют квазилинейной. Для определения амплитуды
установившихся автоколебаний используют уравнение энергетического баланса
сд
л
J АК у ill -V, (12В)
Колебания нелинейных систем с одной степенью свободы
¦*9
выражающее равенство нулю работы силы iрения за один цикл колебаний.
Б уравнение (128) вместо скорости у следует подставить ее выражение,
вытекающее из соотношения (127):
у = - ар sin pt.
(129)
Пример С. Определить амплитуду автоколебаний в случае, когда при v > О
характеристика трения имеет вид, показанный на рис. 26.
R (о1))=3"* X >(.-
Н4У
К (Hu - V) =3Я* X
|Л_ Ур-У (Рр ~У)3 1
- - ^ j
П. следовательно.
го выражение в уравнение (128), имеем
2п
Р
Я44) + ':?-ёф^
О
иль : -^ле подстановки выражения (129)
".in- Ч) - ар sin1 ij: - агр* sm4 | dyj) - 0
О
Отсюда амплитуда автоколебаний
--^/4
втоколсбаний
4 4
При этом наибольшая скорость автоколебаний
Й(tm), -°Р- I".
270
Основы теории колебаний механических систем
не должна превосходить номинальную скорость скольжснгя ов [при уП1ЛХ --
ве произойдет остановка и процесс уже недопустимо описывать завися мостыо
(130)1, поэтому условия существования квазилинейных автоколебаний имеют
вид днух неравенств
C',8U5o* < t'o < с,- (132)
При нарушении правого неравенства автоколебания невозможны, при нарушении
левого неравенства пни будут косить релаксационный характер
иг
Свойства автоколебательных систем yg,i?o общего вида могут быть
исследованы
но фазовому портрету системы путем изучения характера фазовых траекто-У>}
^ рнй иа плоскости у, у.
Для автономной нелинейной системы, движение которой описывается -S О
У дифференциальным уравнением
Рис 27 У-\-р2У = i {у, у). (133)
фазовые траектории являются интегральными кривыми дифференциального
уравнения первого порядка
Ay Ну. !!) - Р"У (134.
Ау 'у
Для графо-аналитического построения фазовых траекторий удобен дельта-
метод, согласно которому траектории строят на фазовой плоскости у, V,
причем
. У
v = j. (135)
Далее вводят функцию
язе)
которую в малых интервалах времени можно считать постоянной, при этом
дифференциальное уравнение (134) может быть проинтегрировано v2 -Ь (у -Ь
б)2 - const. (137)
Это уравнение описывает окружность, центр которой расположен в точке у -
-6; v -= О. Построение фазовой траектории начинают
.... v (0)
с точки с координатами у0 - у (0), v0 - --, определяемыми начальными
условиями. В соответствии с выражением (136) по этим значениям вычисляют
б0 =--- 6 (у0. v0); найденное значение определяет центр окружности,
описываемой уравнением (137). Далее но ходу часовой стрелки проводят
малую дугу окружное!и, начинающуюся и точке У o' (рис, 27), С чертежа
снимают новые значения yt, Vj, вновь под-
Колебания систем с несколькими степенями свободы
271
ставляют в выражение (136) и после вычисления определяют положение нового
центра. С помощью этого центра строят второй элемент фаговой траектории н
т. п
Примере. Построить фазовый портрет фрикционной автоколебаче.-п ной
системы с характеристикой трения по формуле (120) Численные данные:
i/,=0,luJ дон сен-'см. c=100U дан/см,
- Ю дан; v" -
= 0,5 см/сек; е, = Ю см/сек Находим
Р= J IWi сек-1;
Ир, !/) = 1.Ыу I -r>,Wy*;
Ы.У. \) = - 0,02t'v -!,B')v2 -г 10v*.
При наугад взятых начальных условиях уй - 0, ve-0,09 находим 6" - -0,018
