Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Последовательность амнлшуд образует арифметическую прогрессию и огибающие
i рафика движения имеют вид прямых
0=1^0,--^). (116)
Как юлько m клонение a cianei меньше, чем р, движение прекращается.
Колебания нелинейных систем с одной степенью свободы 265
Система с нелинейным внутренним трением. Внутреннее трение
характеризуется рассеянием энергии Y за один цикл, для многих материалов
и целых конструкций можно принять, что величина Y не зависит от частоты
процесса и определяется формулой
Ч'=(ш"+1. (117)
где а, п - постоянные системы; " - амплитуда цикла.
В частности, при Она - 4 R имеем ? = 4 Rcc, это соответствует задаче о
колебаниях системы с кулоновым трением. В этом случае дифференциальное
уравнение верхней огибающей графика движения подобно дифференциальному
уравнению движения (109)
я + 0. (118)
где с - коэффициент жесткости системы; Т - период колебаний (приближенно
равный периоду свободных колебаний недемпфированной системы). Решением
дифференциального уравнения (118) при п =f= I
будет
(119)
В частности, при п - 0 и а - 4/? (кулоково трение) огибающая имеет вид
прямой
4JW ~ 4Р* мот
а = "о -а" y • (120)
При tt - 2 (что приближенно соответствует закономерностям внутреннего
трения для многих сталей) огибающая имеет вид криной гиперболического ти
11 а
(121)
В случае п- I дифференциальное уравнение (118) имеет решение _ i?L
а-в"г 17 (122)
и колебания убывают по экспоненциальному закону (как и в случае вязкого
трения).
Обработка опытных виброграмм иа основе выражения (119) позволяет
определить значения п и а, необходимые для расчета вынужденных колебаний.
В системах с умеренным нелинейным трением логарифмический декремент
определяется соотношениями
(123)
<ij. | ai lili roax
1Д1 a, h alti-две последовательные амплитуды процесса свободных
266
Основы теории колебании механических систем
затухающих колебаний. \сц и ЛЛ4 - уменьшение амплитуды и потенциальной
энергии на один /-и цикл; /7, тах- максимальная потенциальная энергия
системы в j-m цикле. В отличие от линейных систем логарифмический
декремент колебаний не является постоянным для данной системы, а зависит
от амплитуды колебаний.
Вынужденные колебания (случай гармонического возмущения). При умеренном
нелинейном демпфировании пользуются линеаризацией сил трения и приходят к
дифференциальному уравнению (20). Коэффициент k (или п) эквивалентного
линейного трения определяют из условия равенства энергии, рассеиваемой за
один цикл в нелинейном (заменяемом) и линейном (заменяющем) элементах
трения, при этом коэффициент оказывается зависящим от частоты и амплитуды
колебаний (табл. 17).
17. Козффицшиты к и п при замене нелинейного трения эквивалентным
линейным
Закон нелинейного трен ив Эквивалентные коэффициенты вязкого трения
Квадратичное трение R - ± Ри* k epofti _ п _ 4роо
Нелинейно-вязкое трение R = ки 1 у [п-1 . 2АФ (и) (oto)n-1 д.
-; я кФ{п) (аи)л -* * пт
Кулоиово трение ± R к АГ< • п * яат ' * птши
Внутреннее нелинейное трение W = "агг+1 к сшп~^ аап-1 * ЯЮ ' * 2 .TnH/i
Выражения для л* следует подставить в формулу (67):
л_____________________У**----------------
(121)
V {'-Я'*-
Это соотношение следует рассматривать как уравнение относительно
неизвестной амплитуды вынужденных колебаний. В табл. 18 приведены
найденные таким способом резонансные амплитуды при т = р.
Колебания нелинейных систем с одной с/г ч чью свобоСы *267
18. Резонансные амплитуды при нелинейном трении
Закон нелинейного трения * Резонанопая амплитуда
Квадратичное трение 1 I • ЭяР" v ' 8JJ
Нелинейно-вязкое трем не 1 ", л/-'0 р V _АФ (я)
Ку.поново трение При малом трении
Внутреннее нелинейное трение "/ Я/'о У ~1Г
* См. тзбл. 17.
Фрикционные автоколебательные системы
Автоколебаниями (или самовозбуждающимися колебаниями) называют
незатухающие колебания, поддерживаемые за счет источников энергии, не
обладающих колебательными свойствами. При автоколебаниях переменная сила,
поддерживающая движение, управляется самим движением и при прекращении
движения исчезает.
В частности, автоколебания могут возникать в системах с нелинейным сухим
трением (фрикционные автоколебания, 1абл. 19); при этих автоколебаниях
скорость скольжения колеблется около среднею значения ч0.
19. Фрикционные автоколебании
Схема Возможные автоколебании
Wwwwv^fi в--с 1 Горизонтальные автоколебания упруго закрепленною
груза, находящегося иа движущейся бесконечной лейте
1 oQf Вертикальные автоколебания упрут закрепленного тела,
прижатою к вращатшемуся диску
3 ^4mwwwv| Горизонтальные автоколебания тела около режима
равномерною движения
268 Основы теории колебаний механических систем
Существенным условием появления фрикционных автоколебаний
dR ,
служит наличие падающего учаС1ка характеристики трения, где
<1 0 (см. табл. 4. сухое трение, нижний график). Отличительной чертой
автоколебаний является независимость их амплитуды и частоты от начальных
условий. На рис. 24 показаны огибающие кривые у = у (О при различных
