Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
продольными силами в промежуточных сеченнях, подразделяют на отдельные
участки с таким расчетом, чтобы в пределах каждого из них можно было
пользоваться дифференциальным уравнением (2). При эгом на границах
участков должны выполняться условия сопряжения, относящиеся к самой
функции и ее производным
= ?"_; v+ - v_; ^
(fJo4)* = (EJv')_ ± Pv',
здесь индексы минус и плюс относятся соответственно к сечениям,
расположенным непосредственно слона и справа от границы между участками.
В этих случаях удобно пользоваться представлением решения
дифференциального уравнения через начальные параметры
+ Чпг - м*
-Со
"2 - sin аг
а sin аг I - cos аг
<Р = Ч>о л Щ т 0о '
N
0о
Л1 - М" cos аг -\- -sin az; - u.VIp sin аг -{- 0o cos аг;
здесь u", q AJ0 n Q0 - начальные параметры- прогиб, угол поворота,
илпг>;;кнций момент и поперечная сила в начале участка (при г = О).
Упругие imepM ни на жестких опорах 15
Пример 2. Составим уравнение для определения критической силы кпк-сопыюго
стержня, нагруженного двумя сжимающими силам" Р, и Р, (см. схему в табл.
3); при этом е"=0, <р0-9, Q"="'- Пользуясь выражениями 15). получаем для
конца первого участка (г = а)
о, Мв
+ Р*
MQ - Л1а со? Ota;
Q = -- "|/#о н,а.
Принимая величины v , q> Л1 и Q в качестве на
а' на'
1ьных параметров и вновь пользуясь выражениями (5). находим для конца
второю участка
_ = М cos аа (/ - а) si a at (I -а).
XI и U,
Так как на конце второго участка должно быть М "¦= 0.
Л1а cos о* (/ - а) -JJ- sin аг (/ - а) - О.
(7)
1 - t os а,". /\ 4-Р, ' - 1;0; I* 0
о, sin а,а Г, + Я* ' 0; - 1; 0; С
cos и,"; 0; 0; - l; 0
а, sin ажв; 0; 0; 0; - 1
0; 0; 0; cos n, {/ - а). Sill (' - u2
в котором содержатся значения обеих сжимающих сил Р, и Рг.
С помощью этих способов решен ряд задач о критических силах для стержней,
состоящих из участков постоянного сечения, с постоянной в пределах
каждого участка сжимающей силой. Результаты решений
16
Усп! ой чивост ь с тер жней
приведены в готовом виде на стр. 17-18. Критическая сила представлена в
виде
п л? EJ глщ О
1№=~Ъ')г ' "
где р - коэффициент, зависящий от устройства опор и способа нагружения
стержня и называемый коэффициентом длины. Произведение pi называют
приведенной длиной.
Формулой (8) можно пользоваться при условии, что гибкость стержня,
определяемая выражением
;. = -j?=, (9)
удоьлетворяст неравенству
(10)
' ипц
В формулах (9) и (10) F - площадь сечения стержня; апц - предел
пропорциональности. Если условие (10) не выполняется, то потеря
устойчивости наступает при напряжениях, превосходящих предел
пропорциональности, и критическую силу определяют по указаниям,
приведенным па сгр. 80-88.
Формулу (9) представляют также в виде
F1 *
= (II)
причем коэффициент i| связан с коэффициентом длины р соотношением т
1] = -Ц-, (12"
Однопролетные стержни постоянного сечения Действие сосредоточенных
нагрузок. Значения коэффициентов р и 1] для различных случаев нагружения
стержней приведены в табл. i-4. Критическое соотношение между сжимающими
силами, приложенными в промежуточных сечениях консольного стержня, можно
найти по приближенной формуле (рис. 1)
Р,
+
+ ¦¦¦ +р"- • ИЗ)
Для устойчивости стержня необходимо, чтобы левая часть соотношения (13)
была меньше правой части.
Действие распределенных нагрузок- Если внешняя-продольная на-• рузка
приложена не" рерык ко, то дифференциальное уравнение задачи записывают
так:
и 'v d ( .. dv \
Упругие стержни на жестких опорах
I. Значения коэффициента ц дли стержня, нагруженного на концах
Схема Характер закрепления коицоп стержня
Оба конца шарнирно оперты 1 1
. - г- / *4 Один конец заделан, второй конец шарнирно
иперт 0,699
3 р Один конец заделан, второй конец свободен 2
V " i * Т Один конец заделан, на втором конце подннжпая заделка
1
$ "-i- Оба конца заделаны 0,5
2. Значения коэффициента ц для двухопорных стержней, нагруженных на
концах и в пролете
Схема Pa Р, u Схема
0 1,00 2 ? ? Р ~ Ц , 1
0,25 0,95 Ь Z ч
Jr- \& 0,50 0,91
0,75 0,89
1,00 0,87 з ? ? г" r ¦ (i- -i|
2,00 0,82 '> Z 4
18
Устойчивость стержней
3. Значения коэффициента i) для консольного стержня, нагруженного
двумя сжимающими силами [в формуле (11) Ркр={Р,+Р,}кр]
Р,
Р*
а Р,
0 0.1 0.2 0.5 1.0 2,0 5,0 10.0
0 2,467 2,714 2,961 3,701 4,933 7.402 14.80
0,1 2,467 2,7 14 2,960 3,698 4.930 7,377 14.68
0,2 2,467 2,710 2.953 3,679 4,880 7.207 13.78 23.19
0,3 2,467 2,703 2.936 3,622 4,712 6,769 11.70 16,82
0,4 2,467 2.688 2.904 3,525 4,470 6.074 9 187 11,57
0,5 2,467 2,665 2, "56 3,384 4,136 5,268 7.060 8,210
0,6 2,467 2,635 2,793 3.211 3,759 4,497 5,501 6.0-18
0,7 2,467 2,509 2.715 3,020 3.385 3,830 4.376 4,660
0,8 2,467 2.557 2.636 2.821 3,040 3,280 3.551 3,685
0.9 2,467 2,513 2,551 2,641 2.734 2.832 2,936 2,986
1,0 2.467 2,467 2,467 2,467 2;467 2.467 '2.467 2,467
4. Значения коэффициента ц для двухопорного стержня с консолью
Р , Р !
1-
