Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биргер И.А. -> "Прочность, устойчивость, колебания. Том 3" -> 69

Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.

Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 — М.: Машиностроение, 1968. — 568 c.
Скачать (прямая ссылка): prochnostustoychivostkolebaniyat31968.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 165 >> Следующая

Амплитуды ультра гармонических колебаний в случаях слабой нелинейности
малы по сравнению с амплитудой основной гармоники. Амплитуды
субгармонических колебаний иногда могут быть весьма значительными, но эти
колебания могут быть полностью подавлены демпфирующим действием
достаточно больших сил трения.
В случае действия возмущающей силы, состоящей из двух гармоник Р = Р| sin
tii!/ +• Pg sin ы2/, на систему с нелинейной характеристикой F уу) - су -
уу3 приближенное решение имеет вид
у - "1 sin шох/ 4- щ sin со2/.
Амплитуды а, и а.г определяют из нелинейной системы уравнений:
а ___________________Pt______________
(р- - cof) -f -- + 2о|)
_________________Рг______________
(р2-ш?) + ~~^-("И 2"|)
Влияние вязкого сопротивления. Для решения дифференциального уравнения
вынужденных колебаний системы с нелинейной упругой характеристикой и
вязким сопротивлением
ту - ky -\- F (у) - Р" sin со/ (97)
(случай действия гармонического возмущения) в первом приближении
принимают, что движение описывается законом
у - a sin (ш/ -у). (98)
Амплитуда колебаний может быть определена из уравнения
F (и) - ]/~Рц - (feaio)" + таю2 (99)
или из уравнения
262 Основы теории колебаний механических систем
в котором р1 (и) определяется формулой (78). На рис. 20, о схематически
показана амплитудно-частотная характеристика, а на рис. 20, б - изменение
амплитуды "при изменении частоты со возмущения от нуля до значения со* и
затем от значения ы* до нуля. В системах с демпфированием срыв амплитуды
неизбежен даже при моноюнном увеличении частоты.
Для построения высших приближении используют метод Бубнова-Галеркина.
Закон движения принимаю! в виде суммы (95) и вместо уравнений (96)
получают систему уравнений

I 1тУ + ky + F (у) - Р" sin и(] у, (I) dt
О
("=1.2 л) #101)
с неизвестными параметрами а,.
Нелинейные диссипативные системы
Рассмотрим случаи, когда характеристика восстанавливающей силы линейна, а
нелинейность системы обусловлена действием нелинейных сил трения.
Свободные колебания. Система с квадратичным законом tie упругого
сопротивления. Дифференциальное уравнение движения может быть приведено к
виду
у F-f y'' + p'y = Q, <102>
где J5 - коэффициент, зависящий от вязких свойств системы. Если и0 = = 0
и "0 - начальное смещение системы, то следующее наибольшее но величине
отклонение ", (достигаемое через нолунериод колебаний) определяют из
трансцендентного уравнения
•п (1 + ()",) - ря, = IJ (1 Рл0) - |5с". (103)
Следующее наибольшее но величине отклонение а2 (достигаемое но истечении
еще одного полупериода) определяют из трансцендентного уравнения
1л (1 - | |ia2 - !n (1 - р"|) - p", (104)
и т. д.
Для графическою последовательного решения уравнений тина (102) и v 103)
удобно воспользоваться стандартной кривой (рис. 21, о)
Ч"1п(1+?)-?. (105)
Вычислив но данным "адачи следует по стандартной
кривой найти сошветстнующее значение 1|и (точка Л*0 справа от оси
ординат). Проведя через точку А0 горизонтальную прямую, находим точку Alt
определяющую значение н вычисляем
(106)
Колебания нелинейных систем с о)ной степенью свободы 263
Для определения а.г нужно повториih ю же построение, вновь отложив модуль
д, справа от оси ординат и т. д. (см. рис. 21, б).
По этим данным можно построить огибающие кривых затухающих колебаний,
если известен период колебаний; можно принять, что он не отличается от
периода свободных колебаний недемпфированной системы (рис. 22).
Система со стеленным законом не у пру того с о п р о т и в л е н и я р =
ку | у |"
Дифференциальное \ равнение движения приводится к виду
У 'Г у IУ Г-"1 ~г P*y ~ о. (107)
Вместо точного решения этого сложного уравнения приближенно принимают
у = a sin {pt -|- <р) (108)
и находят переменную амплитуду колебаний а = а (/) из дифференциального
уравнения
" СЭ) ш
Ф(п) sin'1+4'rf'l- (110)
(I
Функция Ф (п) имеет следующие значения:
п . . . 0 0,5 1 1,5 2,0 2,5
Ф(П> . 2,000 1,750 1,571 1,437 1,333 1,249
п . . . 3.0 4,0 5,0 6.0 7,0
Ф(") . . '4178 1,087 0.9В2 0,914 0,857
Уравнение (109) следует из энергетического соотношения: работа vи.ты
трения R за один цикл равна уменьшению энергии системы за этот цикл. При
п Ф I решение дифференциального уравнения имеет вид я и .....
264
Основы теории колебаний механичг. м.х -истем
В частности, при п = 2 затухание колебаний следует гиперболическому
закону
(112)
I +
4к/щ_) '
Зтзг
Система с кулоновым трением. Дифференциальное уравнение движения
приводится к виду
у + р'у±- =0,
(113)
где R - сила кулонова трения.
График движения в этом случае состоит из отрезков синусоид, имеющих
одинаковый период, но различные амплитуды (рис. 23. а, фазовая траектория
показана на рис. 23, б).
Связь между двумя последовательными максимальными qi клоне-ниями С/ и a
j, разделенными интервалами времени, равными полу-
Т п
периоду -jj- ---, Имееi вид
где величина
<115>
формально представляет собой статическое смещение, вызываемое силой
трения R. Этот же результат следует из (формулы (111) при п = 0.
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 165 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed