Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Колебания нелинейных систем с о^ной степенью свободы 257
258 Основы теории колебаний механических систем
Результаты вычислений коэффициентов при |' ~~а " дли различных значений я
даны в табл. 16- Приведенные в табл. 16 точные значении ф (п) вычислены
по формуле дли случая ,? в табл. 14.
п-1
16. Результаты вычислении коэффициентов при |/ а
¦ Ф (я) Ф" (и)
1 1,0000 1,0000 1,0000
2 0,9155 0,9129 0,9213
г 0,8472 0,8452 0,8660
4 0 7926 0,7906 0,8241
Б 0,7467 0,7454 0.7906
6 0,7080 0,7071 0,7629
7 0.6747 0.6742 0,7395
В случае несимметричной упругой характеристики следует учитывать, что
отклонения системы в обе стороны от положения равновесия будут
различными. Модули указанных отклонений о+ и а_ {рис. 17) екязаны между
собой соотношением
f F (И dy = 0, (83)
из которого можно выразить одно из отклонений через другое. Среднее
положение системы (центр колебаний) смещено влево от начала координат на
отрезок
Д = ~ (а. - о.) (84)
а = Y + "*>• I85)
Частоту свободных колебаний определяют по приближенной формуле а
Р' = -Щг $ F w~A)y3,t!/ ("е"
(по способу прямой линеаризации), или
2я
рг = -fri J j F (с sin Ф - A) bin Ч Лф (87)
К касания нелинейных систем с одной степенью свободы 259
(нернос приближение по способу Бубнова-Галеркина или Крылова-Богомолова).
Вынужденные колебания систем без трения. Дифференциальное уравнение
колебаний приводится к виду
ту -г F (У) -¦=- Р (О, (88)
где Р (Z) - возмущающая сила (или приведенное кинематическое возмущение -
см. формулу (35)]. Точное решение этого уравнения затруднительно. В
случае гармонического возмущения
Р (О _ Р0 sin и/ (89)
при симметричной упругой характеристике в первом приближении принимают
закон движения
у = a sin to/. (90)
Для определения амплитуды а можно воспользоваться одним из трех способов.
1. Если потребовать, чтобы решение (90) удовлетворяло
дифференциальному уравнению (88) только в положении равновесия и в
крайних
а) 6)
Рис 18
отклоненных положениях системы, то для определения а получам нелинейное
алгебраическое уравнение
F (в) - таи? = Р0. (91)
2. По способу прямой линеаризации амплитуду а определяют из нелинейного
алгебраического уравнения
" " т I(о) - ш2] ' (Н"1
где р* (с)-функция амплитуды по формуле (78).
3. По способу Бубнова-Галеркина (а также по способу Крылонз Боголюбова)
амплитуду а находят из уравнения
| F (a sin ф) sin ф г/ф - тело? Е Р" (93)
о
Типичная зависимость а - а (о>) (амплитудно-частотная характеристика) для
случая жесткой упругой характеристики при некотором фиксированном
.значении амплитуды возмущающей силы показана на рис. 18. а. Здесь же
штриховой линией изображена скелетная кривая -
260 Основы теории колебаний механических, систем
зависимость а (р) для задачи о свободных колебаниях (т. е. при Р0 = 0); с
уменьшением амплитуды Р0 возмущающей силы обе ветви амплитудно-частотной
характеристики приближаются к скелетной кривой.
При достаточно больших значениях частоты возмущения о решение
неоднозначно: данной частоте ю соответствует три значения амплитуды а
колебаний. Устойчивыми являются колебания с наибольшей или наименьшей
амплитудой, колебания с промежуточным значением амплитуды неустойчивы и в
действительности не реализуются.
На рис. 18, б сплошными линиями показаны только устойчивые ветви
амплитудно-частотной характеристики. Штриховыми линиями показано
изменение амплитуды колебаний при постепенном увеличении частоты
возмущения от нуля до значения о) - о)* и последующем умень-Рис 19 шенни
частоты возмущения до
нуля. Одним из отличительных свойств вынужденных колебаний механических
систем являются резкие изменении амплитуды ("срывы") при малых изменениях
часто 1ы возмущения, как это видно из рис. 18, б.
Амплитудно-частотная характеристика, типичная для систем с мягкой
нелинейностью, изображена на рис. 19.
Уравнениями (91)-(93) мешено пользоваться и в случае, когда амплитуда
возмущающей силы пропорциональна квадрату частоты: Рс = ае"8. (94)
В этом случае амплитудно-частотная характеристика а (to) имеет более
сложный вид, чем показано на рис. 19 или 20
При действии возмущающей силы (89) на нелинейную систему колебания с
частотой возмущения ш сопровождаются у.шпрагсрмсничс-скими колебаниями,
имеющими более высокие частоты 2to, Зш, . .,
а также субгармоническими колеоаниями с частотами - to, - to,
Для определения амплитуд ультра- и субгармонических колебаний необходимо
отказаться от описания колебаний закоиом (90) и строить высшие
приближения. В частности, это можно сделать при помощи метода Бубнова-
Галер кина, приняв выражение установившегося процесса вынужденных
колебаний в виде суммы
У - "tHi (О + Ода (О н (95)
Колебания нелинейных систем с одной степенью свободы 261
в которой fJi (/), у2 {/), - должным образом выбранные функции времени.
"!, аг, ... - параметры, определяемые из системы уравнении 2л ю
J [ту -\-F (у) - Р0 sin *j/J у, (0 dl = О о
(I ^ 1, 2, . п) (96)
При сохранении одного члена суммы (95) получается соотношение (93).
