Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
| /ф dx -г V Гр
Iо -------------3---------. (17)
Ч'ц
242 Основы теории колебаний механических систем
После вычисления значения то и / 0 собственная частота приведенной
одномассовой системы определяется формулой (8) (результаты всегда
получаются завышенными).
по таб.?- 11 находим
V
j EJ (и")г dx
и пользуясь табл. 11, нахолим
/1
1 Ег \u'^dx j mu2 dx
Несколько большую точность дает формула Граммеля; для случая изгибных
колебаний она имеет вид
/
I* mv2 dx
о о
Р - *
. (18)
j М" dx
I ~ЁГ
здесь Ми = Ми (х) - изгибающий момент, вызываемый нагрузкой mv.
Заниженные значения частоты дает приближенная формула Дон* керлея
/*---------!----. <19>
Г т (х) dx
J clx)
о
в ко горой с (д) - из гиб на я жесткость, соотвсгсшукнцая приложению
сосредогочонной силы в сечении с абсциссой х.
Колебания линейных систем с одной степенью свободы 243
Системы с вязким сопротивлением. Дифференциальное уравнение движения
приводится к виду
ту т ky су - 0 или у + 2пу -J- р2у = 0, (20)
k
где п = - коэффициент, зависящий от вязких свойств системы.
Обычно п значительно меньше р (кроме случаев, когда система содержит
специальные демпферы).
Решение уравнения (20) при п < р
у - ae~ni sin {Vр2-п2/т^) (21)
представляет собой затухающие колебания (закоп движения показан на рис.
6. а; фазовая траектория - на рис. 6. 6).
Амплитуду колебаний а и начальную фазу д> определяют из начал ь-пых
условий
\/
Ф - arctg-
{Щ-\-пу0У р*~п* '
"о + пУи
(22)
(23)
Круговая частота колебаний составляет |Грг - п1 и в большинстве случаев
весьма близка к собственной частоте р недемпфированной системы.
Произведение ae~nt представляет верхнюю огибающую кривой затухающих
колебаний. Отношение любых двух последовательных амплитуд остается
неизменным в течение всего процесса:
аил |
Где /' - период колебаний *, Т - -
2я
Р
(24)
(25)
* И данном случае термин применен в условном смысле, поскольку процесс
вообще не является периодическим.
244 Основы теории колебаний механических систем
6 -пТ = In -
(26)
характеризует темп затухания и называется логарифмическим декре-мешпом
колебаний (или, просто, логарифмическим декрементом).
При не слишком быстром процессе затухания, когда уменьшение ампли гуды До
за цикл значительно меньше самой амплитуды а.
й _ In-= In-= at* i щ - До,
In
/ 1 \ До"
(27)
г. е. логарифмический декремепт равен отношению уменьшения амплитуды за
один цикл к значению амплтуды этого цикла. В момент вре-
мени, когда перемещение системы досягает максимума, ее полная энергия
равна потенциальной энергии са\
77 щах = g 1 Потеря энергии за один цикл
(а.
Относительное рассеяние энергии Д/7
4> = н--
*'inax
alti) {at - ui+l) а сщ До" (28) (29)
2 Да" а,
называют коэффициентом поглощения; сравнивая выражения (27) и (29),
видим, что коэффициент поглощения вдвое больше логарифмического
декремента колебаний.
При сильном демпфировании (когда п J> р) решение уравнения (20)
имеет вид ___
,V"'-p4+De-Vn'-n' (]
Ае 1
(30)
н движение носит апериодический характер. Постоянные А к В определяются
начальными условиями. Закон движения и фазовая траектория показаны
соответственно на рис. 7, а и б.
При критическом демпфировании (п ~ р) решение дифференциальною уравнения
(20) имеет вид
У - (пуи Ь ЧвО с
(31)
Колебания линейных систем с одной степенью свободы 245
Вынужденные колебания
Вынужденными называют колебания, происходящие под действием заданных
внешних сил (силовое возмущение, рис. 8, о) или заданных движений
отдельных точек системы (кинематическое возмущение, рис. 8, б).
Системы без трения. Дифференциальное уравнение движения при силовом
возмущении приводится к виду
•• Р (t)
ту - си ----- Р (Л) или ч -f- р2у =-~ , (32)
где т - инерционный коэффициент; с - коэффициент жесткости*
1 /7
р - | собственная частота; Р (t) - ншмущакяцая сила.
9ft)
у ft*
•vwv
1 m ЙШД i
При кинематическом возмущении, когда точка подвеса совершает задэписе
движение,
У* = У* (0. (33)
дифференциальное уравнение движения имеет вид
ту + су ^ су* (t) (3*1)
и после введения эквивалентной силы Р (t)
су, (0 = Р (<) (35)
приводи гея к виду дифференциального уравнения (32).
При нулевых начальных условиях (у0 - 0; v"= 0) общее решение
дифференциального уравнения (32) имеет вид
У =ш~~ \ РО) sm PV- T)dT,
(36)
ГДе т - переменная интегрирования.
В частном случае гармонического возмущения, когда
Р (t) - Ро sin eat (37)
(Рц - амплитуда возмущающей силы; а>Ф р ее частота *), движение системы
описывается законом
у = -^ sin of j- sin pi^ , (38)
- p см v-rp JIT.
Основы теории колебаний механических систем
где уст - перемещение, вызываемое статически действующей силой Ро
Уст*= -. (39)
(40)
(41)
В случае, когда возмущающая сила задана законом Р - Р0 cos го/.
движение описывается зависимостью
у= ^?2.
I-S
(COS or-CGS/tf).
Выражения (38) и (41) относятся к случаю нулевых начальных условий. В
действительности, из-за неучтенных при выводе неупругих сопротивлений
вторые слагаемые в скобках в формулах (38) и (41)
