Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
нос in, соответствующее начальным напряжениям о Деформация укорочения
вдоль дуги любого нормального сечения будет к - с другой стороны, эта
величина
с. _ 0(1 -V) _ QRO - V)
Е "* 2Eh *
Устойчивость оболочек в пределах упругости
177
отсюда на холим
,2141
В дальнейшем через кр будем обозначать дополнительный прогиб, имеющий
месго при выпучивании оболочки. Величина qz н уравнениях (211), (212):
qz= -ha^-w. Уравнение (212) принимает вид
-у v*" -I- ov4^' -|- -ps- ---- 0. (215)
Причем, что решение уравнения (215) должно удовлетворять соотношению
Vе" - - Я-2", (21G)
где Я. - неопределенный параметр.
Тогда из уравнения (215) получим
a=4xs+w- <2ш
Минимизируя о по Я.3, находим
г-2 = -Щ- V 12(1 - и!). (2181
Далее, по формуле (217) определяем величину верхнего кргпнче ского
напряжения
Е -А. ю 0,606? -5-. (219)
КзТГГЧЗ) " Я '
Напряжению по формуле (219) соответствует да иле и не
;(4)г-''2,?(1Г 12201
Кзц -
V)
Формула (219) для верхнего критического напряжения для сферической
оболочки в точности совпадает с выражением (43) для верхнего критического
напряжения, отвечающим случаю осевого сжатия цилиндрической оболочки.
Определяя верхнюю критическую нагрузку, мы не рассматривали форму
выпучивания оболочки. Исследование формы изогнутой поверхности,
проведенное в линейной постановке, показывает, что в случае, с-сли
выпучивание является осесимметричным, потеря устойчивости должна
сопровождаться появлением одной сравнительно глубокой нмя-тины и ряда
кольцевых складок, размельчающихся но мере удаления от центра основной
вмятины [1].
Реальные сферические оболочки оказываются такими же чувствительными к
начальным несовершенствам в форме срединной поверхности. как н сжатые
вдоль оси цилиндрические оболочки. Выпучивание сферических оболочек, как
правило, сопровождается хлопком, и истинные значения критических усилий
лежат обычно гораздо ниже значений, найденных по линейной теории. Как
показывают испытания сферических сегментов, особенность процесса
выпучивания сферических
178
Устойчивость оболочек
оболочек состой 1 в гом, что в одних случаях он сопровождается появлением
одной быстро развивающейся вмятины, в других - образованием группы волн,
соединяющихся затем обычно в одну глубокую вмятину. Поэтому при
исследовании устойчивости сферических оболочек в большом возможны два
подхода к задаче. Первый подход состоит в рассмотрении процесса развития
одиночной вмятины и сводится к решению осесимметричной задачи; при втором
подходе исследуют несимметричное выпучивание оболочки. Приведем
результаты, полученные при использовании верного из этих подходов.
Основные нелинейные уравнения теории пологих оболочек имеют вид ill
где Ф - функция напряжений в срединной поверхности; q -- поперечная
нагрузка; L - оператор по формулам (32) и (36).
Воспользуемся полярными координатами г, (р. Совместим начало радиуса-
вектора с центром вмятины. Если функции w н Ф не зависят or ф, го
получаем следующие выражения для операторов, входящих в уравнения (221)
[] ]:
-'h v'i" = L (W, Ф) I у"Ф + ;
(221)
- = - -j- L (is. if) - \2vj.
L (to, Ф) = -
I d / dw t/Ф \ _
r dr \ dr ' dr ) *
JL dw .
r ' dr* ' dr ;
(222)
L (к1, w) =
d* J d_
dr* r ' dr
1 d ( d \
~ r ' dr У dr ) *
Уравнения (221) примут вид
,223)
_!_ A.
R ' dr
tPb. dr*
Устойчивость оболочек в пределах упругости
179
Интегрируя эти уравнения по г, получим после деления на г
(У'Ф) =
(*Ф 1 ' Аг
Л..1 .
dw
~йГ
dw dr '
1
2г
т!Ф
dr
1
(224)
под Ч'' понимают функцию нагрузки.
-М qr dr.
(225)
Напряжения в срединной поверхности в общем случае [] ]
Ь осесимметричных задачах бу-
Найдем выражение дли радиального перемещения и точек срединной
поверхности. При этом используем следующую формулу для деформации
удлинения в кольцевом направлении:
_ I ( <РФ V АФ \
"ТГЧ-*3" 7 лГ)'
С другой стороны, Рф =
отсюда находим
Е
' А~Ф_
, dr2 '
dr i
(227)
Рассмотрим результаты различных решений нелинейной задачи, оснонанныс на
исследовании изменения стрелы прогиба одной вмятины, образующейся н
полной сферической оболочке, в зависимости от давления Трудность задачи
состоит в усшнонлснии граничных условий на контуре вмятины, так как
остальная чапьоболочки также подвергается деформации. В одном из
вариантов решения по методу Ритца в качестве перного приближения
принималось, что на контуре вмя-цшы (рнс. 33) выполняется услоиие полного
защемления:
= с. (22В)
dw
где с - радиус вмятины. Предполагалось, далее, что по краю имяшны
отгутстуют радиальные перемещения:
и = 0 при г - О.
(229)
180
Устойчивость оболочек
С учетом выражения (227) это условие можно записать в виде d'-ф v
,1?' 7-jp-Onp* г = с. ,230)
В полюсе при г -> 0 радиальные напряжения должны быть ограничены по
величине; отсюда из формул (226) вытекает четвертое граничное условие
йФ
dr
= 0 при г = 0. <231)
Выражение для прогиба аппроксимируется в виде
<232)
Эта функция удовлетворяет граничным условиям (228). Выражение (232)
