Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Длину вектора г обозначим через s, угол наклона образующей и | кг: 1C иен
ию - через о.. Проекции г на оси координат
I- - s sin а; у -5 cos о -cos 0; z - s cos "• sin 0 (153)
Некто;; г можно разложить по ортам I. J, ft: г - s (/ sin а | jсоь а-cos
G -j
- ft cos а. sin 0) (15-1)
Ради усы кр и вегз пы среди и ной по верх ногти (рис 26, б)
tg "
(155)
Вы п и iuum ныр ажеи и я для дефор-мадий н срединной поверх ноли и
параметров изменения кривизн.
Обозначим через и, о, и смещения точек срединном поверхности
соответственно в направлении образующей, вдоль параллельного круга (по
окружности, получающемся при ле- р11С 26
ресечении срединной поверхности
с плоскостью, перпендикулярной к оси оболочки) и по внутренней нормали к
поверхности. Удлинения и сдвиг в срединной поверхности будут 11 1
(156)
где и е2 -деформации удлинения соответственно вдоль образующей и вдоль
дуги параллельного круга; у - деформация сдвига.
Изменения кривизн и кручение определяют по формулам
d*w 54 й? ; tgn
] д2и> s1 cosa а б'В2
___________ dv_
s3 cos а 60
dw ds 1
(157)
166
Устойчивость оболочек
В упрощенном варианте, пренебрегая в выражениях для и2 и X членами,
зависящими от перемещения о, получим приближенные выражения
I d'lv) ] dw # I Os '
и2 = -
у - -
s3 cos2 а <Я)2 1 d2w (
I
.158)
scosa dsdB ^cosa оП
Усилия и моменты, действующие на элемент оболочки, показаны на рис. 27.
Через Л'" Л'" 7-,, обозначены погонные нормальные и касательные усилия.
Мх, Мг, Ип - изгибающие и крутящий моменты.
Уравнения равновесия элемента оболочки и уравнение совместности
деформаций для беэ-момектного основного состояния (до потери
устойчивости) сводятся к системе следующих упрошенных уравнений flj*
DV'V- v;<r- 7=0;
УФ -f- nh\?~W = 0,
059)
12(1-v*) ния нагрузка.
; И-толщина оболочки; q-фиктивная поперсч-
Я - Л'хКх + Л'2з<2 ~г 7 i2X"'
(160)
Ч> - функция усилий. Подставим в формулу (160) выражения (157) и (158);
при 7\2 - О получим
-А/, -
( 1 I dw \
г \ s cos a * dO2 s ' Of j ) '
Операторы у2 и V2 имеют вид
[ik (Sl" 4-)+ж Ыгг¦ ж)];
2 tg" д'
_ s ' Ла •
отсюда находим
д-w 1 dw . ]
зрч-т-лг+ттгэ
tgo б2ф s ds2
061)
062)
063)
Устойчивость оболочек в пределах упругости____________167
Г7*- W- '_-___^~\ =
\ ds- s ds ¦ я(r) cos3 а d02 )
] f d Г d ( ff2w ] dw , 1 "Яш \ "I
s cos a [ ds [S C0S ° ds \ ds2 1 s ds "T~ s2 cos2 a d02 / J
дГ ] d / d-ш , _1_ d^ 1 d-ш \ "J I
7)0" [ s cos a * \ ds2 ^ s * ds s2 cos2 a * d0'3 / Jj
гНш 2 &W I . 1
<з II *1 + -1 * ds3 ss ' ds2 "¦-г-
2 d4a- 2 d"sw
ds +
s2 COS3 a ds2 dO2
, 4 d2w f 1 d*w
s4 cos2 a * d02 1 s4 cos4 a ' d04 '
Подставляя выражения (163) и (164) в уравнения (169), получаем следующие
окончательные уравнения линейной теории:
168
Устойчивость оболочек
Устойчивость при осевом сжатии
Рассмотрим решение линейной задачи для круговой конической оболочки,
сжатой вдоль оси. Если предположить, что изогнутая поверхность оболочки
после выпучивания остается осесимметричной, то г" - - w (5); ф = <р (s) и
уравнения (165), (166) иринедутся к ниду
r J d*u' D( ds* Н
d3w
dsa
1_ rf2a' ( J_ jto_\ ,
s2 ds2 ' &3 ds ) '
¦ л/ d2" tga
d\
ds*
ds2
d3y
d*fp ds8
d""P ds2
d<f-
ds
-f- Eh
tga d2Ki
- 0,
•167)
(168)
где D =
ЕЛ8
; A-толщина оболочки; a-угол наклона обра-
12 (1 - v(r)) '
зующей к основанию. Ураннения (167) и (168) можно записать в следующей
форме:
-Вг,-аЦ*-Иг,-я-(8-?-)]}-
tgu
- -I-JVi -
(169)
Если считать, что при потере устойчивости образуется большое число волн и
длина каждой волны будет невелика, величину sb пределах одной волны можно
считать постоянной. Рассмотрим волну, примыкающую к большому основанию
конуса. Положив s - 1%, где 1Х - расстояние по образующей от вершины до
большего основания, и Nt - - -<V], где - сжимающее усилие по окружности
большего основания, из уравнений (169) и (170) получим
d*w ds4 d* ф "d?"
d2KJ
ds2
tg a d^
-f- Ch
tea
I,
ds2
ds2
= 0;
Решение этих уравнений ищем в форме ш - A sin (s - /t);
(171)
(172)
Устойчивость оболочек в пределах упругости 169
где К - длина волны. Подставляя выражения (172) в > равнении 117]) и
приравнивая к нулю определитель получающейся при этом системы уравнений,
находим
Л* = -I -4у" ¦ "Tf"" (173)
Р 1\
где Р = . Минимизируя N{[ по Р'2. получим
I
/ Eh tg2 сГ
D Ч
(174
В результате подстановки выражении (174) в формулу (1/3) получаем
значение верхнего критического усилия
-(175) I, МЗС1 -V")
При V = 0,3
Eh2 F№
Л', _ о - 0,605 -у- {g а - 0.605 -77-, (176)
'1 'Ч>
где Й0 - ~{ga -РадиУс кРивнзны срединной поверхности у большего основания
При исследовании случая, когда выпучивание оболочки неосеснм-мегричное, в
уравнения (165), (166) подставляют следующие фушшин прогиба и усилий:
а" =- v\ cos п 0; ф = <fj cos пН, (177)
где ы', -= w-y (s); ф4 - (s); п - число ноли по параллельному кру i \.
Верхнее критическое напряжение в этом варианте решения, как и при
осесимыефячном выпучивании, определяют по формуле (176) [1]. Как видны,
