Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если известно выражение для напряжения о* в произвольной точке пластинки
но ширине, то среднее напряжение о по ширине будет ь
о = -j- j о* dy. (29)
и нагрузка, передающаяся пластинке, определится через среднее напряжение
в виде
Р - abh (30)
Сравнивая выражения (27) и (30), получим
о т.
Ф= -. (31)
Ор
Следовательно, редукционный коэффициент равен отношению среднею
напряжения по ширине пластинки к напряжению в краевом волокне.
Т. Карман получил простую формулу для редукционною коэффициент, исходя из
следующих рассуждений. Представим себе "приведенную пластинку" шириной
Ьпр, полученную в результате сочленения "работающих" краевых полос.
Считая, что нормальные напряжения равномерно распределены но ширине Ьпр,
имеем критическое значение Ор для приведенной пластинки:
= (32)
blph
где О - цилиндрическая жесткость пластинки.
Кртпическое напряжение для исходной пластинки
л-0
окр - К -??? - (33)
Сравнивая формулы (32) и (33), находим
Ф V 7Г • <34>
(35)
тогда
(36)
Устойчивость пластинок в пределах упругости 107
'1тя квадратной пластинки, края которой шарнирно оперты на жесткие ребра,
остающиеся прямолинейными в процессе деформации, редукционный коэффициент
будет [] ]
0,5
Т-0,5 + -г,
(37)
(38)
где- п* - по-прежнему определяется формулой (35). Формула (37) получена в
результате решения нелинейном задачи н мерном приближении, при этом
считалось, что продольные края пластинки свободно смещаются Решение
задачи во втором приближении см. в работе [2]
Для прямоугольной шарнирно опертой пластинки редукционный коэффициент
определяют по приближенной формуле
Графики (j (л*) по формулам
(36) и (38) показаны на рис. 15.
На графике даны также уточненные, по сравнению с формулой (38), данные
(решение Лени) и результаты, полученные с помощью цифровой электронно-
вычислительной машины (метод сеток) [1J.
Приведем рекомендации для практических расчетов. Пели число подкрепляющих
обшивку ребер значительно, причем ребра являются заведомо жесткими на
изгиб, при определении редукционных коэффициентов нужно использовать
зависимость, полученную методом сеток (рис. 15), или решение Леви н
формулу (38) (в пределах значений я*, приводимых на графике рис. 15, эти
результаты близки к кривой метода се ю к).
В случае, когда конструкция состоит из обшнилн. подкрепленной
относительно слабыми подкрепляющими ребрами, т е. если пег уверенности,
что кромки пластинки остаются прямолинейными, а также для ншлированных
панелей следует пользоваться формулой (36).
При определении несущей способности плиепсок обычно исходят ш условий
прочности п устойчивости подкрепляющих ребер.
Приведем формулы, относящиеся к квадратной пластинке при иных граничных
условиях. Если пластинка шарнирно оперта ни жесткие ребра, остающиеся
прямолинейными во время жч|юр'МШН, причем продольные края неподвижны,
редукционный ьоэффициет будет [2)
(ЗУ)
____2_
: 3-| я
1 1 -j- v
при v = 0,3 получим
у) = 0,6 i
0.4
140)
108
Устойчивость пластинок
Для квадратной пластинки, защемленной по краям при енободно смещающихся
продольных кромках, редукционный коэффициент определяют но формуле
C(i = 0,7+^-. II)
Закритнчсская деформация подкрепленных пластинок при сдвиге. В случае,
если удлиненная пластинка (о > Ь) подвергается по всем кромкам действию
касательных усилий, значительно превышающих критическую величину (рис.
]6), пользуются упрощенной моделью диагонально растянутого поля.
Как известно, при чистом сдвиге оси главных напряжений составляю! с
кромками углы, равные 43°, и одно из главных напряжений является
растягивающим, а другое-сжимающим. При потере устойчивости пластинки
происходит как бы гофрирование пластинки по направлению главного
сжимающего напряжения. Если края пластики остаются в первоначальной
плоскости, то и здесь выпучивание ведет к образованию напряжений в
срединной поверхности. В случае сдвига волокна пластинки, параллельные
складкам, могут нести значительные растягивающие усилия, передающиеся на
продольные
щящ
ребра. Реакции от продольных ребер воспринимают, в свою очередь,
поперечные элементы; последние оказываются сжатыми. Следовательно,
создастся система наклонных растягивающих усилий, уравновешенных
реакциями поперечных ребер (стоек). Такая упрощенная модель распределении
напряжений в срединной поверхности и напряжений изгиба носит название
модели диагонально растянутого поля.
Указанный подход к задаче приводит к следующей * формуле для
растягивающего напряжения [I J:
2т
Устойчивость пластинок в пределах упругости 109
где ct - угол между направлением складок и длинной стороной пластинки.
Угол я близок к 40~. Сжимающими напряжениями а2 можно пренебречь.
Квадратная пластинка со стороной о, шарнирно опертая по краям, испытывает
действие сдвигающих усилий т, распределенных по всем кромкам: края
пластинки сближаются свободно (рис. 17).
Модель диагонально растянутого поля уместна лишь при значительно развитой
закритическсй деформации пластинки. В случае, если критическое напряжение
